Konu anlatımı
Her fonksiyonun her noktada türevi yoktur. Bu alt başlıkta soldan ve sağdan türevi, türev ile süreklilik arasındaki ilişkiyi, grafikte türevin olmadığı noktaları ve parçalı tanımlı bir fonksiyonun geçiş noktasında türevli olması için gereken iki koşulu göreceksin.
Soldan ve sağdan türev
Türev tanımındaki limitte h sıfıra yalnızca negatif değerlerle yaklaşırsa soldan türev, yalnızca pozitif değerlerle yaklaşırsa sağdan türev elde edilir; bunlar f′(a⁻) ve f′(a⁺) ile gösterilir. Fonksiyonun a noktasında türevli olması için bu iki türevin ikisi de birer gerçek sayı ve birbirine eşit olmalıdır. Soldan türev, grafiğin o noktaya soldan gelen kolunun eğimi; sağdan türev, sağa giden kolunun eğimidir.
Türev ve süreklilik
Bir fonksiyon bir noktada türevliyse o noktada süreklidir. Tersi doğru değildir: sürekli bir fonksiyon türevli olmayabilir. f(x) = |x − 2| fonksiyonu x = 2 noktasında süreklidir; ama x < 2 için kural −x + 2, x > 2 için x − 2 olduğundan soldan türev −1, sağdan türev 1 olur ve türev yoktur. Bu ilişkinin kullanışlı sonucu şudur: bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse o noktada türevli de değildir.
Grafikte türevin olmadığı noktalar
Grafikte üç tür noktada türev yoktur. Birincisi fonksiyonun sürekli olmadığı, yani grafiğin koptuğu noktalardır. İkincisi köşe ya da sivri uç noktalarıdır: grafik kopmaz ama noktanın solundaki ve sağındaki eğimler farklıdır. Üçüncüsü teğetin düşey olduğu noktalardır; düşey doğrunun eğimi tanımlı olmadığından türev bir gerçek sayı olamaz. f(x) = ∛x fonksiyonunun x = 0 noktasındaki teğeti düşeydir; türev formülü olan 1/(3·∛(x²)) bu noktada tanımsızdır.
Parçalı fonksiyonda iki koşul
Parçalı tanımlı bir fonksiyonun geçiş noktasında türevli olması için önce sürekli olması gerekir: iki kuralın o noktadaki değerleri eşit olmalıdır. Sonra iki kuralın türevlerinin o noktadaki değerleri eşit olmalıdır. Bu iki koşul iki denklem verir ve iki bilinmeyen bulunur. Yalnızca türevleri eşitlemek yetmez; süreklilik sağlanmadan türevden söz edilemez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f fonksiyonu x < 1 için x² + ax + b, x ≥ 1 için 4x − 1 kuralıyla tanımlanıyor. f fonksiyonu x = 1 noktasında türevli olduğuna göre a ve b kaçtır?
Çözüm. Süreklilik için iki kuralın x = 1 için değerleri eşit olmalıdır: 1 + a + b = 3. Türevlerin eşitliği için sol kuralın türevi 2x + a, sağ kuralın türevi 4 olduğundan 2 + a = 4 ve a = 2 bulunur. İlk eşitlikten b = 0 çıkar.
Örnek 2. f fonksiyonu x ≤ 2 için ax² + 1, x > 2 için bx − 3 kuralıyla tanımlanıyor. f fonksiyonu bütün gerçek sayılarda türevli olduğuna göre a + b kaçtır?
Çözüm. x = 2 noktasında süreklilik 4a + 1 = 2b − 3 eşitliğini, türevlerin eşitliği 4a = b eşitliğini verir. İkincisi birincide yerine yazılır: b + 1 = 2b − 3 ve b = 4, a = 1 bulunur. a + b = 5 olur.
Örnek 3. f(x) = x·|x| fonksiyonu x = 0 noktasında türevli midir?
Çözüm. x < 0 için f(x) = −x², x > 0 için f(x) = x² olur ve f(0) = 0 olduğundan fonksiyon süreklidir. Soldan türev −2x kuralından 0, sağdan türev 2x kuralından 0 bulunur. İki türev eşit olduğundan fonksiyon x = 0 noktasında türevlidir ve f′(0) = 0 olur. Mutlak değer içeren her fonksiyonun türevsiz bir noktası olması gerekmez.
Sık yapılan hatalar
- Parçalı fonksiyonda yalnızca türevleri eşitleyip süreklilik koşulunu yazmamak.
- Sürekli olan fonksiyonun türevli olduğunu varsaymak.
- Köşe noktasında soldan türevi türev diye vermek.
- f′(a⁻) gösterimindeki eksiyi türevin işareti sanmak.
- Türevli: soldan türev ile sağdan türev var ve eşit.
- Türevliyse süreklidir; tersi doğru değildir.
- Parçalı fonksiyonda önce değerleri, sonra türevleri eşitle.