Konu anlatımı
Türevi her seferinde limitle hesaplamak yerine birkaç kural kullanılır. Bu alt başlıkta sabitin ve kuvvetin türevini, sabit çarpan ile toplam ve fark kurallarını, köklü ve kesirli ifadelerin kuvvet biçimine çevrilmesini ve ikinci türevi göreceksin.
Sabit ve kuvvet kuralı
c bir sabit olmak üzere f(x) = c fonksiyonunun türevi sıfırdır; sabit fonksiyon değişmez, grafiği yataydır. n rasyonel bir sayı olmak üzere f(x) = xⁿ fonksiyonunun türevi f′(x) = n·xⁿ⁻¹ olur: üs çarpan olarak öne gelir ve üs bir azalır. Buna göre x⁵ ifadesinin türevi 5x⁴, x ifadesinin türevi 1 olur. Sabit bir çarpan türevde aynen kalır: 4x³ ifadesinin türevi 4·3x² = 12x² olur.
Toplam ve fark
Türevli iki fonksiyonun toplamının türevi türevlerin toplamı, farkının türevi türevlerin farkıdır. Böylece polinomların türevi terim terim alınır. f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 9 için f′(x) = 12x² − 10x + 7 olur; sabit terim kaybolur. Bir noktadaki türev değeri isteniyorsa önce türev fonksiyonu bulunur, sonra sayı yerine yazılır: f′(−1) = 12 + 10 + 7 = 29.
Köklü ve kesirli ifadeler
Kuvvet kuralı kesirli ve negatif üsler için de geçerlidir; bu yüzden kökler ve paydadaki kuvvetler önce üs biçiminde yazılır. √x, x üzeri 1/2 olduğundan türevi (1/2)·x üzeri −1/2, yani 1/(2√x) olur. 1/x = x⁻¹ olduğundan türevi −x⁻² = −1/x², 1/x³ = x⁻³ olduğundan türevi −3/x⁴ olur. Küpkök için ∛x ifadesinin türevi 1/(3·∛(x²)) bulunur. Paydası tek terim olan kesirler terimlere ayrılabilir: (x² + 4)/x = x + 4/x olduğundan türevi 1 − 4/x² olur.
İkinci türev
Türev fonksiyonunun türevine ikinci türev denir ve f′′(x) ile gösterilir. f(x) = x³ + 2x² − 5x için f′(x) = 3x² + 4x − 5 ve f′′(x) = 6x + 4 olur. Hareket problemlerinde konumun ikinci türevi ivmedir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = 6√x − 4/x olduğuna göre f′(4) kaçtır?
Çözüm. Terimler kuvvet biçiminde yazılır: 6·x üzeri 1/2 ve −4·x⁻¹. Türev 3·x üzeri −1/2 + 4·x⁻², yani 3/√x + 4/x² olur. x = 4 için 3/2 + 4/16 = 3/2 + 1/4 = 7/4 bulunur.
Örnek 2. f(x) = x³ + ax² − 5x ve f′(2) = 15 olduğuna göre a kaçtır? Bu değer için f′′(1) kaçtır?
Çözüm. f′(x) = 3x² + 2ax − 5 olur. f′(2) = 12 + 4a − 5 = 4a + 7 olduğundan 4a + 7 = 15 ve a = 2 bulunur. İkinci türev f′′(x) = 6x + 2a = 6x + 4 olur ve f′′(1) = 10 çıkar.
Örnek 3. f(x) = (x² + 4)/x fonksiyonunun grafiğinde teğetin yatay olduğu noktaların apsisleri nelerdir?
Çözüm. Kesir terimlere ayrılır: f(x) = x + 4/x. Türev f′(x) = 1 − 4/x² olur. Yatay teğet için türev sıfır olmalıdır: 1 − 4/x² = 0, yani x² = 4 ve x = 2 ya da x = −2. Fonksiyon x = 0 için tanımsız olduğundan bu iki değer de tanım kümesindedir.
Sık yapılan hatalar
- Sabit terimin türevini kendisi sanmak; sabitin türevi sıfırdır.
- Negatif üste üssü azaltırken yanlış yöne gitmek: x⁻¹ ifadesinin türevi −x⁻² olur, −x⁰ değil.
- √x ifadesinin türevini 1/√x yazıp 1/2 çarpanını unutmak.
- Türev değerini bulmak için sayıyı önce fonksiyonda yerine yazıp sonra türev almak; sabitin türevi sıfır çıkar.
- Sabitin türevi sıfırdır.
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; kökleri ve paydaları önce üs olarak yaz.
- Toplamın türevi, türevlerin toplamıdır.