Konu anlatımı
Türevin en etkili kullanım alanı, bir büyüklüğü en büyük ya da en küçük yapan değeri bulmaktır. Bu alt başlıkta böyle problemlerin ortak adımlarını ve alan, hacim, uzaklık ve çarpım problemlerinde modelin nasıl kurulduğunu göreceksin.
Ortak adımlar
Birinci adımda en büyük ya da en küçük olması istenen büyüklük belirlenir ve formülü yazılır. İkinci adımda formülde birden çok değişken varsa verilen koşul kullanılarak tek değişkene indirilir. Üçüncü adımda değişkenin alabileceği aralık yazılır; uzunluklar pozitif olmalıdır. Dördüncü adımda türev alınır, sıfıra eşitlenir ve aralıktaki kritik nokta bulunur. Son adımda bu noktanın istenen türden ekstremum verdiği türevin işaretiyle ya da uç değerlerle karşılaştırarak doğrulanır.
Alan ve hacim modelleri
Bir kartonun köşelerinden kareler kesilerek yapılan üstü açık kutuda kesilen karenin kenarı x ise kutunun yüksekliği x, taban kenarları kartonun kenarlarından 2x çıkarılarak bulunur. Belirli bir hacmi olan kutu ya da kapta en az malzeme istendiğinde yüzey alanı yazılır ve hacim koşuluyla tek değişkene indirilir. Bir eğrinin altına çizilen dikdörtgenlerde köşenin koordinatları eğrinin denkleminden alınır: y = 12 − x² parabolü ile x ekseni arasına, tabanı eksen üzerinde olacak biçimde çizilen dikdörtgenin alanı 2x·(12 − x²) olur ve en büyük değerini x = 2 için alır; bu değer 32'dir.
Uzaklık ve çarpım modelleri
Bir eğrinin bir noktaya en yakın noktası aranırken uzaklığın kendisi yerine karesi kullanılır; uzaklık ile karesi aynı noktada en küçük olur ve karekökten kurtulmak türevi kolaylaştırır. Toplamı sabit olan iki sayıyla kurulan çarpım ve kuvvet ifadelerinde sayılardan biri x, öteki toplamdan x çıkarılarak yazılır. Bulunan kritik noktanın değişkenin aralığında olup olmadığı mutlaka denetlenir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenarları 24 cm ve 9 cm olan dikdörtgen bir kartonun köşelerinden eş kareler kesilip kenarlar katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun hacmi en çok kaç santimetreküp olur?
Çözüm. Kesilen karenin kenarı x ise taban kenarları 24 − 2x ve 9 − 2x, yükseklik x olur; 0 < x < 9/2 olmalıdır. V(x) = x(24 − 2x)(9 − 2x) = 4x³ − 66x² + 216x. V′(x) = 12x² − 132x + 216 = 12(x − 2)(x − 9) olur; aralıktaki tek kritik nokta x = 2'dir. Türev x < 2 için pozitif, 2 < x < 9/2 için negatif olduğundan bu değer en büyük hacmi verir: V(2) = 2·20·5 = 200 santimetreküp.
Örnek 2. y = x² parabolünün (3, 0) noktasına en yakın noktası hangisidir ve bu en kısa uzaklık kaç birimdir?
Çözüm. Parabol üzerindeki nokta (x, x²) olsun. Uzaklığın karesi D(x) = (x − 3)² + x⁴ olur. D′(x) = 2(x − 3) + 4x³ = 4x³ + 2x − 6 = 2(x − 1)(2x² + 2x + 3) bulunur. İkinci çarpanın diskriminantı negatif olduğundan tek kritik nokta x = 1'dir; türev burada eksiden artıya geçer. En yakın nokta (1, 1), uzaklığın karesi 4 + 1 = 5 ve uzaklık √5 birimdir.
Örnek 3. Toplamı 12 olan pozitif iki sayıdan birinin karesi ile ötekinin çarpımı en çok kaç olabilir?
Çözüm. Karesi alınan sayı x ise öteki 12 − x olur ve 0 < x < 12 aralığında f(x) = x²(12 − x) = 12x² − x³ incelenir. f′(x) = 24x − 3x² = 3x(8 − x) olur; aralıktaki kritik nokta x = 8'dir ve türev burada artıdan eksiye geçer. En büyük değer f(8) = 64·4 = 256 olur. Sayıları eşit alıp 6 ve 6 seçmek 216 verir ve en büyük değer değildir.
Sık yapılan hatalar
- İki değişkenli formülü tek değişkene indirmeden türev almak.
- Bulunan kritik noktanın aralıkta olup olmadığına bakmamak.
- En büyük değer yerine onu veren x sayısını cevap olarak yazmak.
- Kritik noktanın gerçekten en büyük ya da en küçük değeri verdiğini doğrulamamak.
- Büyüklüğü tek değişkenle yaz, aralığını belirle, türevi sıfıra eşitle.
- Uzaklık yerine uzaklığın karesini kullan.
- Sonucu türevin işaretiyle ya da uç değerlerle doğrula.