Konu anlatımı
Trigonometride açılar 0° ile 180° arasıyla sınırlı değildir; bir açı 360°'den büyük ya da negatif olabilir. Bu alt başlıkta yönlü açıyı, derece ile radyan arasındaki dönüşümü ve bir açının esas ölçüsünü bulmayı göreceksin.
Yönlü açı ve derece
Bir ışının başlangıç noktası çevresinde döndürülmesiyle oluşan açıya yönlü açı denir; ışının ilk konumu başlangıç kolu, son konumu bitim koludur. Dönme saat yönünün tersine ise açı pozitif, saat yönünde ise negatif yönlüdür. Tam bir dönüş 360°'dir. Derecenin alt birimleri dakika ve saniyedir: 1° = 60′ ve 1′ = 60″. Buna göre 12,5° = 12° 30′ olur.
Radyan
Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyandır. Çemberin çevresi 2π yarıçap uzunluğunda olduğundan tam açı 2π radyan, yani π radyan 180°'dir. Dönüşüm bu eşitlikle yapılır: derece ölçüsü D, radyan ölçüsü R ise D/180 = R/π olur. 108° = 108π/180 = 3π/5 radyan ve 5π/12 radyan = 5·180°/12 = 75° bulunur. 1 radyan yaklaşık 57,3°'dir. Bir açının yanında derece işareti yoksa ölçü radyandır.
Esas ölçü
Bitim kolları aynı olan açıların ölçüleri arasındaki fark 360°'nin tam katıdır. Bu açılardan 0° ≤ α < 360° koşulunu sağlayanına esas ölçü denir. Pozitif bir açıda 360°'nin sığdığı kadar katı çıkarılır: 1000° için 1000 − 2·360 = 280°. Negatif bir açıda sonuç pozitif olana kadar 360° eklenir: −50° için −50 + 360 = 310°.
Radyanda esas ölçü 0 ≤ α < 2π aralığındadır ve 2π'nin katları çıkarılır ya da eklenir. 17π/3 için 17π/3 − 4π = 5π/3, −7π/4 için −7π/4 + 2π = π/4 bulunur. Paydası n olan bir açıda 2π = 2nπ/n yazmak işlemi kolaylaştırır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. −1230° ölçüsündeki açının esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm. Açı negatif olduğu için sonuç 0° ile 360° arasına gelene kadar 360° eklenir. 3·360 = 1080 yetmez, 4·360 = 1440 eklenir: −1230 + 1440 = 210. Esas ölçü 210°'dir. İşaret atılıp 1230°'nin esas ölçüsü olan 150° yazılırsa yanlış sonuç bulunur; doğru cevap 360 − 150 = 210 değeridir.
Örnek 2. 43π/5 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
Çözüm. 2π = 10π/5 olduğundan 43π/5 içinde 2π tam 4 kez vardır: 4·10π/5 = 40π/5. Fark 43π/5 − 40π/5 = 3π/5 olur. 0 ≤ 3π/5 < 2π olduğundan esas ölçü 3π/5 radyandır.
Örnek 3. 2026° ölçüsündeki açının bitim kolu hangi bölgededir?
Çözüm. 2026 = 5·360 + 226 olduğundan esas ölçü 226°'dir. 180° < 226° < 270° olduğu için bitim kolu üçüncü bölgededir. Bu bölgede sinüs ve kosinüs negatif, tanjant pozitiftir.
Sık yapılan hatalar
- Negatif açının esas ölçüsünü, işareti atıp bulduğu sonuç sanmak.
- Esas ölçüyü 360° ya da daha büyük bırakmak; esas ölçü 360°'den küçüktür.
- Radyanı dereceye çevirirken π yerine 3,14 yazıp 180 ile çarpmayı unutmak.
- π radyan = 180°; D/180 = R/π.
- Esas ölçü: 0° ≤ α < 360° ya da 0 ≤ α < 2π.
- Negatif açıda 360° ekle, büyük açıda 360°'nin katlarını çıkar.