Konu anlatımı
Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonları bütün gerçek sayılarda bire bir değildir; tersleri ancak tanım kümeleri kısıtlanarak tanımlanır. Bu alt başlıkta arcsin, arccos ve arctan fonksiyonlarını, özel değerlerini ve bu fonksiyonlarla kurulan bileşke ifadeleri göreceksin.
Tanımlar
Sinüs fonksiyonu [−π/2, π/2] aralığında bire birdir ve bu aralıkta −1 ile 1 arasındaki her değeri alır. Bu kısıtlamanın tersi arcsin fonksiyonudur: arcsin x, sinüsü x olan ve [−π/2, π/2] aralığında bulunan açıdır. Kosinüs [0, π] aralığına kısıtlanır: arccos x, kosinüsü x olan ve [0, π] aralığında bulunan açıdır. Tanjant (−π/2, π/2) aralığına kısıtlanır: arctan x, tanjantı x olan ve bu aralıkta bulunan açıdır. arcsin ve arccos yalnızca −1 ≤ x ≤ 1 için, arctan ise bütün gerçek sayılar için tanımlıdır.
Özel değerler
Değer bulurken açının hangi aralıkta aranacağı belirleyicidir. arcsin(1/2) = π/6 ve arcsin(−√3/2) = −π/3 olur; negatif değerlerde arcsin negatif açı verir. arccos(−1/2) = 2π/3 olur; negatif değerlerde arccos ikinci bölgede bir açı verir. arctan(−1) = −π/4 ve arctan(√3) = π/3 olur. arccos 0 = π/2, arcsin 1 = π/2 ve arccos(−1) = π değerleri uç durumlardır.
Bileşke ifadeler
cos(arcsin(3/5)) gibi bir ifadede içteki açıya θ denir: sin θ = 3/5 ve θ, [−π/2, π/2] aralığındadır; bu aralıkta kosinüs negatif olmadığından cos θ = 4/5 bulunur. Aynı yolla sin(2·arcsin(3/5)) = 2·(3/5)·(4/5) = 24/25 olur.
Tanım aralığındaki her x için sin(arcsin x) = x olur. Sıra değişince dikkat gerekir: arcsin(sin x) = x eşitliği yalnızca x, [−π/2, π/2] aralığındaysa doğrudur. arcsin(sin(5π/6)) = arcsin(1/2) = π/6 olur, 5π/6 değil.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. arcsin(1/2) + arccos(−1/2) + arctan(−1) toplamı kaçtır?
Çözüm. arcsin(1/2) = π/6, arccos(−1/2) = 2π/3 ve arctan(−1) = −π/4 olur. Toplam π/6 + 2π/3 − π/4 = 2π/12 + 8π/12 − 3π/12 = 7π/12 bulunur. arccos(−1/2) için −π/3 ya da 4π/3 yazmak yanlıştır; arccos değerleri [0, π] aralığındadır.
Örnek 2. cos(arcsin(3/5)) + tan(arccos(5/13)) toplamı kaçtır?
Çözüm. arcsin(3/5) = θ ise sin θ = 3/5 ve θ dar açı olduğundan cos θ = 4/5 olur. arccos(5/13) = β ise cos β = 5/13 ve β dar açı olduğundan sin β = 12/13, tan β = 12/5 olur. Toplam 4/5 + 12/5 = 16/5 bulunur.
Örnek 3. arccos(cos(4π/3)) kaçtır?
Çözüm. Önce içteki değer hesaplanır: cos(4π/3) = −1/2. Sonra arccos(−1/2) = 2π/3 bulunur. Sonuç 4π/3 değildir, çünkü 4π/3 açısı [0, π] aralığında değildir; arccos aynı kosinüs değerine sahip olan ve bu aralıkta bulunan açıyı verir.
Sık yapılan hatalar
- arcsin x ifadesini 1/sin x sanmak.
- arccos değerini [0, π] aralığının dışında yazmak.
- arcsin(sin x) ifadesini her x için x diye sadeleştirmek.
- arcsin 2 gibi tanımsız bir ifadeye değer vermeye çalışmak.
- arcsin: [−1, 1] aralığından [−π/2, π/2] aralığına.
- arccos: [−1, 1] aralığından [0, π] aralığına.
- arctan: gerçek sayılardan (−π/2, π/2) aralığına.