Konu anlatımı
Aynı açının sinüsü ile kosinüsünün katsayılı toplamı, tek bir sinüs fonksiyonu olarak yazılabilir. Bu alt başlıkta bu dönüşümü, ifadenin alabileceği en büyük ve en küçük değeri ve a·sin x + b·cos x = c biçimindeki denklemlerin çözümünü göreceksin.
Tek bir sinüse dönüştürme
a ve b ikisi birden sıfır olmayan gerçek sayılar ve r = √(a² + b²) olsun. a/r ile b/r sayılarının kareleri toplamı 1 olduğundan cos φ = a/r ve sin φ = b/r eşitliklerini sağlayan bir φ açısı vardır. İfade r parantezine alınırsa a·sin x + b·cos x = r·(sin x·cos φ + cos x·sin φ) = r·sin(x + φ) elde edilir.
Sık kullanılan üç dönüşüm şunlardır: sin x + cos x = √2·sin(x + π/4), √3·sin x + cos x = 2·sin(x + π/6) ve sin x − √3·cos x = 2·sin(x − π/3).
En büyük ve en küçük değer
sin(x + φ) ifadesi −1 ile 1 arasındaki bütün değerleri aldığından a·sin x + b·cos x ifadesinin en büyük değeri √(a² + b²), en küçük değeri −√(a² + b²) olur. İfadeye bir sabit eklenmişse uç değerler o sabit kadar kayar. Bu sonuç yalnızca sinüs ile kosinüsün açısı aynı olduğunda geçerlidir.
a·sin x + b·cos x = c denklemi
Sol taraf −√(a² + b²) ile √(a² + b²) arasında değer aldığından denklemin çözümü olması için c² ≤ a² + b² olmalıdır. sin x + cos x = 2 denkleminin çözümü yoktur, çünkü sol taraf en çok √2 olabilir. Çözüm varsa sol taraf r·sin(x + φ) biçiminde yazılır ve sin(x + φ) = c/r denklemi çözülür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = 5·sin x − 12·cos x + 3 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değeri kaçtır?
Çözüm. √(5² + (−12)²) = √169 = 13 olduğundan 5·sin x − 12·cos x ifadesi −13 ile 13 arasında değer alır. 3 eklenince en büyük değer 16, en küçük değer −10 bulunur. Katsayıların mutlak değerlerini toplayıp 5 + 12 = 17 üzerinden hesap yapmak yanlıştır; doğru yol karelerin toplamının kareköküdür.
Örnek 2. √3·sin x + cos x = 1 denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökleri nelerdir?
Çözüm. Sol taraf 2·sin(x + π/6) biçiminde yazılır; denklem sin(x + π/6) = 1/2 olur. x + π/6 = π/6 + 2kπ ya da x + π/6 = 5π/6 + 2kπ eşitliklerinden x = 2kπ ya da x = 2π/3 + 2kπ bulunur. Verilen aralıktaki kökler 0 ve 2π/3 değerleridir; 2π aralığa dahil değildir.
Örnek 3. 3·sin x + 4·cos x = m denkleminin çözümü olduğuna göre m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
Çözüm. Sol tarafın en büyük değeri √(9 + 16) = 5, en küçük değeri −5 olur. Denklemin çözümü olması için −5 ≤ m ≤ 5 olmalıdır. Bu aralıkta −5 ile 5 arasındaki 11 tam sayı vardır.
Sık yapılan hatalar
- En büyük değeri |a| + |b| sanmak; doğrusu √(a² + b²) değeridir.
- Açıları farklı olan sin 2x + cos x gibi ifadelere aynı kuralı uygulamak.
- Eklenen sabiti uç değerlere katmamak.
- a·sin x + b·cos x = √(a² + b²)·sin(x + φ).
- Değer aralığı: [−√(a² + b²), √(a² + b²)].
- a·sin x + b·cos x = c denkleminin çözümü ancak c² ≤ a² + b² ise vardır.