Konu anlatımı
Her açının trigonometrik değeri bir dar açının değeri cinsinden yazılabilir. Bu alt başlıkta indirgemenin iki adımlı kuralını, negatif açıları, özel açıların değerlerini ve farklı trigonometrik değerleri büyüklük sırasına koymayı göreceksin.
İsim ve işaret kuralı
İndirgeme iki soruyla yapılır. Birincisi isimdir: açı π ya da 2π üzerinden yazılmışsa fonksiyonun adı değişmez; π/2 ya da 3π/2 üzerinden yazılmışsa sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant yer değiştirir. İkincisi işarettir: θ dar açı kabul edilir, açının hangi bölgeye düştüğü bulunur ve başlangıçtaki fonksiyonun o bölgedeki işareti yazılır.
Negatif açılarda kosinüs işareti yutar, ötekiler dışarı çıkarır: cos(−θ) = cos θ, sin(−θ) = −sin θ ve tan(−θ) = −tan θ.
- sin(π − θ) = sin θ, cos(π − θ) = −cos θ, tan(π − θ) = −tan θ.
- sin(π + θ) = −sin θ, cos(π + θ) = −cos θ, tan(π + θ) = tan θ.
- sin(2π − θ) = −sin θ, cos(2π − θ) = cos θ.
- sin(π/2 − θ) = cos θ, cos(π/2 − θ) = sin θ, tan(π/2 − θ) = cot θ.
- sin(π/2 + θ) = cos θ, cos(π/2 + θ) = −sin θ, tan(π/2 + θ) = −cot θ.
- sin(3π/2 − θ) = −cos θ, cos(3π/2 − θ) = −sin θ.
- sin(3π/2 + θ) = −cos θ, cos(3π/2 + θ) = sin θ.
Özel açıların değerleri
30°, 45° ve 60° açılarının değerleri bilindiğinde öteki bölgelerdeki karşılıkları indirgemeyle bulunur. sin 150° = sin(180° − 30°) = 1/2, cos 135° = −cos 45° = −√2/2, tan 120° = −tan 60° = −√3, sin 225° = −sin 45° = −√2/2, cos 240° = −cos 60° = −1/2, sin 330° = −sin 30° = −1/2 ve cos 330° = cos 30° = √3/2 olur. Büyük ya da negatif açılarda önce esas ölçü bulunur, sonra indirgeme yapılır.
Sıralama
Birinci bölgede açı büyüdükçe sinüs ve tanjant artar, kosinüs ve kotanjant azalır. Farklı fonksiyonların değerlerini karşılaştırmak için hepsi aynı fonksiyona çevrilir; çoğu zaman cos θ = sin(90° − θ) eşitliği yeter. Ayrıca dar açılarda sinüs ve kosinüs 1'den küçüktür, tanjant ise 45°'den büyük açılarda 1'den büyüktür. sin 50°, cos 20° ve tan 50° değerlerinde cos 20° = sin 70° yazılır: sin 50° < sin 70° < 1 < tan 50° olduğundan sıralama sin 50° < cos 20° < tan 50° biçimindedir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. sin 210° + cos 300° + tan 135° toplamı kaçtır?
Çözüm. sin 210° = sin(180° + 30°) = −sin 30° = −1/2 olur. cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2 olur. tan 135° = tan(180° − 45°) = −tan 45° = −1 olur. Toplam −1/2 + 1/2 − 1 = −1 bulunur.
Örnek 2. Tanımlı olduğu x değerleri için sin(π/2 + x) + cos(π − x) + tan(π + x)·cot(−x) ifadesinin en sade biçimi nedir?
Çözüm. sin(π/2 + x) = cos x ve cos(π − x) = −cos x olduğundan ilk iki terim birbirini götürür. tan(π + x) = tan x ve cot(−x) = −cot x olduğundan son terim tan x·(−cot x) = −1 olur. İfadenin değeri −1'dir.
Örnek 3. a = sin 70°, b = cos 70° ve c = tan 70° sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm. cos 70° = sin 20° yazılır. Birinci bölgede sinüs artan olduğundan sin 20° < sin 70°, yani b < a olur. Dar açının sinüsü 1'den küçüktür; 70° ise 45°'den büyük olduğundan tan 70° > 1 olur. Sıralama b < a < c biçimindedir.
Sık yapılan hatalar
- İşareti, dönüşümden sonra elde edilen fonksiyona göre koymak.
- π/2 ve 3π/2 üzerinden indirgemede fonksiyonun adını değiştirmeyi unutmak.
- cos(−θ) = −cos θ yazmak; kosinüs çift fonksiyondur.
- π ve 2π üzerinden isim aynı kalır; π/2 ve 3π/2 üzerinden isim değişir.
- İşaret, ilk fonksiyonun açının düştüğü bölgedeki işaretidir.
- cos θ = sin(90° − θ); sıralamada değerleri aynı fonksiyona çevir.