Konu anlatımı
Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğu için bir trigonometrik denklemin genellikle sonsuz çözümü vardır. Bu alt başlıkta temel denklemlerin genel çözümünü, bir aralığa düşen kökleri seçmeyi, çarpanlara ayırma ve değişken değiştirmeyle çözülen denklemleri göreceksin. Bütün formüllerde k bir tam sayıdır.
Temel denklemler
sin x = a denkleminin çözümü olması için −1 ≤ a ≤ 1 olmalıdır. sin α = a olan bir α açısı bulunursa çözümler x = α + 2kπ ve x = π − α + 2kπ olur, çünkü birim çemberde aynı ordinata sahip iki nokta vardır. cos x = a denkleminde yine −1 ≤ a ≤ 1 olmalıdır ve çözümler x = α + 2kπ ile x = −α + 2kπ olur, çünkü aynı apsise sahip iki nokta x eksenine göre simetriktir. tan x = a denkleminin her a için çözümü vardır ve çözümler x = α + kπ biçimindedir.
[0, 2π) aralığında sin x = 1/2 denkleminin kökleri π/6 ve 5π/6, cos x = −1/2 denkleminin kökleri 2π/3 ve 4π/3, tan x = √3 denkleminin kökleri π/3 ve 4π/3 olur.
Açının katı varsa
sin 2x ya da cos 3x gibi ifadelerde önce içteki açı için genel çözüm yazılır, sonra x çekilir; aralığa düşen kökler en son seçilir. cos 3x = 1/2 denkleminde 3x = π/3 + 2kπ ya da 3x = −π/3 + 2kπ olur; buradan x = π/9 + 2kπ/3 ya da x = −π/9 + 2kπ/3 bulunur. [0, π) aralığındaki kökler π/9, 5π/9 ve 7π/9 değerleridir. Açı k katına çıktığında aynı aralıktaki kök sayısı da artar; kökleri x için bulmadan aralığı daraltmak kök kaybettirir.
Çarpanlara ayırma ve değişken değiştirme
Denklem tek bir trigonometrik fonksiyona göre ikinci derecedense o fonksiyona t denir ve t için bulunan değerlerden −1 ≤ t ≤ 1 koşuluna uyanlar alınır. Farklı fonksiyonlar varsa özdeşliklerle teke indirilir: cos 2x + 3·sin x = 2 denkleminde cos 2x = 1 − 2sin²x yazılır. Ortak çarpan varsa paranteze alınır; iki taraf sin x ya da cos x ile bölünmez, çünkü bu ifadeyi sıfır yapan kökler kaybolur. sin x = cos x denkleminde ise cos x = 0 çözüm vermediği için bölmek güvenlidir ve tan x = 1 elde edilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. sin 2x = √3/2 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm. 2x = π/3 + 2kπ ya da 2x = 2π/3 + 2kπ olur; buradan x = π/6 + kπ ya da x = π/3 + kπ bulunur. k = 0 ve k = 1 için aralığa düşen kökler π/6, π/3, 7π/6 ve 4π/3 değerleridir. Toplam (π + 2π + 7π + 8π)/6 = 18π/6 = 3π olur.
Örnek 2. 2sin²x − 3·sin x + 1 = 0 denkleminin [0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?
Çözüm. sin x = t denirse 2t² − 3t + 1 = (2t − 1)(t − 1) = 0 ve t = 1/2 ya da t = 1 bulunur. sin x = 1/2 eşitliğinin kökleri π/6 ve 5π/6, sin x = 1 eşitliğinin kökü π/2 değeridir. Denklemin bu aralıkta 3 kökü vardır.
Örnek 3. sin 2x = cos x denkleminin [0, 2π) aralığındaki kökleri nelerdir?
Çözüm. sin 2x = 2·sin x·cos x yazılır ve bütün terimler bir tarafa toplanır: cos x·(2·sin x − 1) = 0. cos x = 0 eşitliğinden π/2 ve 3π/2, sin x = 1/2 eşitliğinden π/6 ve 5π/6 bulunur. Denklemin dört kökü vardır. İki taraf cos x ile bölünseydi π/2 ve 3π/2 kökleri kaybolurdu.
Sık yapılan hatalar
- sin x = a denkleminde yalnızca x = α + 2kπ çözümünü yazıp π − α çözümünü unutmak.
- tan x = a denkleminde periyodu 2π almak.
- sin 2x içeren denklemde aralığı 2x için değil x için düşünmeden kök seçmek.
- Değişken değiştirmede −1 ≤ t ≤ 1 koşulunu denetlememek.
- sin x = sin α: x = α + 2kπ ya da x = π − α + 2kπ.
- cos x = cos α: x = α + 2kπ ya da x = −α + 2kπ.
- tan x = tan α: x = α + kπ.
- Ortak çarpanı paranteze al; bilinmeyen içeren ifadeyle bölme.