Konu anlatımı
İki açının toplamının ya da farkının trigonometrik değeri, açıların ayrı ayrı değerlerinden hesaplanabilir. Bu alt başlıkta altı formülü, bunlarla 15° ve 75° gibi açıların değerlerini bulmayı ve tanjant formülünün denklem kökleriyle ve geometrik şekillerle birlikte kullanımını göreceksin.
Formüller
Sinüs formüllerinde işaret aynı kalır ve terimler karışıktır; kosinüs formüllerinde işaret ters döner ve terimler aynı adlıdır. Tanjant formülleri, sinüs formülünün kosinüs formülüne bölünmesiyle elde edilir ve tan a, tan b ile toplamın ya da farkın tanjantı tanımlı olduğunda geçerlidir.
- sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b.
- sin(a − b) = sin a·cos b − cos a·sin b.
- cos(a + b) = cos a·cos b − sin a·sin b.
- cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b.
- tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a·tan b).
- tan(a − b) = (tan a − tan b)/(1 + tan a·tan b).
Yeni açıların değerleri
75° = 45° + 30° ve 15° = 45° − 30° yazılarak bu açıların değerleri bulunur. sin 75° = sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30° = (√6 + √2)/4 ve cos 75° = (√6 − √2)/4 olur. 15° ile 75° tümler olduğundan sin 15° = cos 75° = (√6 − √2)/4 ve cos 15° = (√6 + √2)/4 bulunur. Tanjant için tan 15° = 2 − √3 ve tan 75° = 2 + √3 değerleri elde edilir.
Tanjant formülünün kullanım yerleri
tan a ve tan b bir ikinci dereceden denklemin kökleriyse kökler toplamı payı, kökler çarpımı paydayı verir: tan(a + b) = (kökler toplamı)/(1 − kökler çarpımı). Geometride ise bir açı iki dik üçgenin açılarının toplamı ya da farkı olarak yazılır. Kenarı 4 birim olan ABCD karesinde E noktası [BC] kenarı üzerinde |BE| = 1, F noktası [CD] kenarı üzerinde |DF| = 2 olacak biçimde alınsın. tan(BAE) = 1/4 ve tan(DAF) = 2/4 = 1/2 olur; bu iki açının toplamının tanjantı (1/4 + 1/2)/(1 − 1/8) = 6/7 bulunur. EAF açısı bu toplamı 90°'ye tamamladığı için tan(EAF) = 7/6 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a ve b dar açılar olmak üzere sin a = 3/5 ve cos b = 5/13 olduğuna göre sin(a + b) ve cos(a − b) kaçtır?
Çözüm. Açılar dar olduğundan cos a = 4/5 ve sin b = 12/13 bulunur. sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b = (3/5)·(5/13) + (4/5)·(12/13) = 15/65 + 48/65 = 63/65 olur. cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b = (4/5)·(5/13) + (3/5)·(12/13) = 20/65 + 36/65 = 56/65 olur.
Örnek 2. x² − 4x − 2 = 0 denkleminin kökleri tan a ve tan b olduğuna göre tan(a + b) kaçtır?
Çözüm. Kökler toplamı tan a + tan b = 4, kökler çarpımı tan a·tan b = −2 olur. tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a·tan b) = 4/(1 − (−2)) = 4/3 bulunur. Paydada çarpımın işaretine dikkat edilmelidir; 1 − 2 yazmak −4 sonucuna götürür.
Örnek 3. Yerdeki bir gözlemci, 12 m uzağındaki bir binanın 5 m yükseklikteki penceresine ve 9 m yükseklikteki çatısına bakıyor. Gözlemcinin pencere ile çatı arasını gördüğü açının tanjantı kaçtır?
Çözüm. Çatıya bakış açısına α, pencereye bakış açısına β denirse tan α = 9/12 = 3/4 ve tan β = 5/12 olur. İstenen açı α − β açısıdır: tan(α − β) = (3/4 − 5/12)/(1 + (3/4)·(5/12)) = (1/3)/(21/16) = 16/63 bulunur. Tanjantları doğrudan çıkarıp 1/3 yazmak yanlıştır.
Sık yapılan hatalar
- sin(a + b) = sin a + sin b yazmak.
- Kosinüs formülünde işareti ters çevirmeyi unutmak: cos(a + b) ifadesinde eksi vardır.
- Tanjant formülünde paydanın işaretini payın işaretiyle aynı almak.
- Sinüste işaret aynı, terimler karışık; kosinüste işaret ters, terimler aynı adlı.
- tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a·tan b).
- tan 15° = 2 − √3 ve tan 75° = 2 + √3.