Konu anlatımı
Birim çember, trigonometrik oranları her açı için tanımlamanın yoludur. Bu alt başlıkta altı trigonometrik fonksiyonun tanımını, bölgelere göre işaretlerini, temel özdeşlikleri ve bir fonksiyonun değeri bilinirken ötekileri bulmayı göreceksin.
Tanımlar
Başlangıç kolu x ekseninin pozitif yönü olan θ açısının bitim kolu birim çemberi P(x, y) noktasında kessin. Bu noktanın apsisi cos θ, ordinatı sin θ olarak tanımlanır. Nokta birim çember üzerinde olduğu için −1 ≤ sin θ ≤ 1 ve −1 ≤ cos θ ≤ 1 olur. Öteki fonksiyonlar bunlardan türetilir: tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ, sec θ = 1/cos θ ve cosec θ = 1/sin θ. Tanjant ve sekant cos θ = 0 olan açılarda, kotanjant ve kosekant sin θ = 0 olan açılarda tanımsızdır. θ = 120° için P noktası (−1/2, √3/2) olur; yani cos 120° = −1/2 ve sin 120° = √3/2'dir.
Bölgelere göre işaretler
İşaretler P noktasının koordinatlarından okunur. Birinci bölgede bütün fonksiyonlar pozitiftir. İkinci bölgede yalnızca sinüs ve kosekant, üçüncü bölgede yalnızca tanjant ve kotanjant, dördüncü bölgede yalnızca kosinüs ve sekant pozitiftir. Bir açının hangi bölgede olduğu bilinmeden trigonometrik değerinin işareti söylenemez; soruda verilen π < x < 3π/2 gibi koşullar bu yüzden önemlidir.
Temel özdeşlikler
P noktası birim çember üzerinde olduğundan sin²θ + cos²θ = 1 olur. Bu eşitlik cos²θ ile bölünürse 1 + tan²θ = 1/cos²θ, sin²θ ile bölünürse 1 + cot²θ = 1/sin²θ elde edilir. Ayrıca tanımlı olduğu her açıda tan θ·cot θ = 1 olur. Bir değer bilinirken ötekiler bu özdeşliklerle bulunur ve işaret bölgeye göre seçilir: üçüncü bölgedeki bir açı için sin θ = −3/5 ise cos²θ = 16/25 ve kosinüs negatif olduğundan cos θ = −4/5, tan θ = 3/4 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. π < x < 3π/2 ve tan x = 5/12 olduğuna göre sin x + cos x toplamı kaçtır?
Çözüm. Dik kenarları 5 ve 12 olan dik üçgenin hipotenüsü 13'tür; buna göre sinüs ve kosinüsün mutlak değerleri 5/13 ve 12/13 olur. Açı üçüncü bölgede olduğundan ikisi de negatiftir: sin x = −5/13 ve cos x = −12/13. Toplam −17/13 bulunur. Tanjant pozitif diye sinüs ve kosinüsü de pozitif almak işaret hatasıdır.
Örnek 2. sin x + cos x = 1/3 olduğuna göre sin x·cos x çarpımı kaçtır?
Çözüm. İki tarafın karesi alınır: sin²x + 2·sin x·cos x + cos²x = 1/9. sin²x + cos²x = 1 olduğundan 1 + 2·sin x·cos x = 1/9, yani 2·sin x·cos x = −8/9 ve sin x·cos x = −4/9 bulunur. Çarpımın negatif çıkması, sinüs ile kosinüsün ters işaretli olduğunu gösterir.
Örnek 3. sin x·cos x = 2/5 olduğuna göre tan x + cot x toplamı kaçtır?
Çözüm. tan x + cot x = sin x/cos x + cos x/sin x olur. Payda eşitlenince (sin²x + cos²x)/(sin x·cos x) = 1/(sin x·cos x) elde edilir. Buna göre toplam 1/(2/5) = 5/2 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Bölgeye bakmadan karekökün pozitif değerini almak.
- Birim çemberde apsisi sinüs, ordinatı kosinüs sanmak; apsis kosinüs, ordinat sinüstür.
- sin²x ifadesini sin(x²) gibi düşünmek; sin²x, sin x değerinin karesidir.
- P(cos θ, sin θ) birim çember üzerindedir.
- sin²θ + cos²θ = 1 ve tan θ = sin θ/cos θ.
- İşaretler: I. bölgede hepsi, II. bölgede sinüs, III. bölgede tanjant ve kotanjant, IV. bölgede kosinüs pozitiftir.