Konu anlatımı
Trigonometrik fonksiyonların değerleri belli aralıklarla tekrarlanır; grafikleri de bu yüzden dalga biçimindedir. Bu alt başlıkta periyot kavramını, sinüs ve kosinüs grafiklerinin temel özelliklerini ve y = a·sin(bx + c) + k fonksiyonunda katsayıların grafiğe etkisini göreceksin.
Periyodik fonksiyon
Tanım kümesindeki her x için f(x + T) = f(x) eşitliğini sağlayan pozitif bir T sayısı varsa f periyodik fonksiyondur; bu sayıların en küçüğüne fonksiyonun periyodu denir. Sinüs ve kosinüsün periyodu 2π, tanjant ve kotanjantın periyodu π'dir. x yerine bx yazılırsa periyot |b| sayısına bölünür: y = sin 2x fonksiyonunun periyodu π, y = sin(x/2) fonksiyonunun periyodu 4π, y = tan 3x fonksiyonunun periyodu π/3 olur.
Sinüs ve kosinüs grafikleri
y = sin x grafiği orijinden başlar, x = π/2 için en büyük değeri olan 1'e çıkar, x = π için sıfıra döner, x = 3π/2 için en küçük değeri olan −1'e iner ve x = 2π için yeniden sıfır olur; sonra aynı dalga tekrarlanır. y = cos x grafiği (0, 1) noktasından başlar, x = π/2 için sıfır, x = π için −1, x = 3π/2 için sıfır ve x = 2π için yeniden 1 olur. Kosinüs grafiği, sinüs grafiğinin π/2 birim sola ötelenmişidir: sin(x + π/2) = cos x.
Sinüs grafiği orijine göre simetriktir; sinüs tek fonksiyondur. Kosinüs grafiği y eksenine göre simetriktir; kosinüs çift fonksiyondur. Tanjant da tek fonksiyondur ve x = π/2 + kπ değerlerinde tanımsızdır.
y = a·sin(bx + c) + k
Bu fonksiyonda |a| genliktir: dalganın orta çizgisinden en fazla ne kadar uzaklaştığını gösterir. k orta çizgiyi y = k doğrusuna taşır. Buna göre en büyük değer k + |a|, en küçük değer k − |a| olur ve görüntü kümesi [k − |a|, k + |a|] aralığıdır. Periyot 2π/|b| olur. c ise grafiği yatay kaydırır: bx + c = b(x + c/b) olduğundan kayma c/b birimdir; sin(2x − π/3) = sin(2(x − π/6)) grafiği, y = sin 2x grafiğinin π/6 birim sağa ötelenmişidir.
Bu bilgiler tersinden de kullanılır: grafikten en büyük ve en küçük değer okunur, yarı farkları genliği, ortalamaları k sayısını verir; art arda iki tepe noktası arasındaki yatay uzaklık periyottur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = −2·cos 3x + 5 fonksiyonunun periyodu, en büyük ve en küçük değeri kaçtır?
Çözüm. Periyot 2π/3 olur. Genlik |−2| = 2 ve orta çizgi y = 5 doğrusu olduğundan en büyük değer 5 + 2 = 7, en küçük değer 5 − 2 = 3 bulunur. Katsayı negatif olduğu için en büyük değer cos 3x = −1 iken alınır; örneğin x = π/3 için f(π/3) = −2·(−1) + 5 = 7 olur.
Örnek 2. a ve b pozitif sayılar olmak üzere f(x) = a·sin(bx) + k fonksiyonunun en büyük değeri 7, en küçük değeri −1 ve periyodu 4π olduğuna göre a, b ve k kaçtır?
Çözüm. Genlik, uç değerlerin farkının yarısıdır: a = (7 − (−1))/2 = 4. Orta çizgi, uç değerlerin ortalamasıdır: k = (7 + (−1))/2 = 3. Periyot 2π/b = 4π olduğundan b = 1/2 bulunur. Fonksiyon f(x) = 4·sin(x/2) + 3 olur; x = π için f(π) = 4·1 + 3 = 7 değeri en büyük değeri doğrular.
Örnek 3. f(x) = 2·cos(x − π/4) − 3 fonksiyonu [0, 2π) aralığında en küçük değerini hangi x için alır ve bu değer kaçtır?
Çözüm. En küçük değer k − |a| = −3 − 2 = −5 olur ve kosinüs −1 değerini aldığında gerçekleşir. cos(x − π/4) = −1 eşitliğinden x − π/4 = π ve x = 5π/4 bulunur; bu değer verilen aralıktadır. Öteki çözümler 2π'nin katları kadar uzaktadır ve aralığın dışında kalır.
Sık yapılan hatalar
- Periyodu 2π·b diye hesaplamak; periyot 2π/|b| değeridir.
- En büyük değeri yalnızca |a| sanıp k sayısını eklememek.
- Tanjantın periyodunu 2π almak; tanjantın periyodu π'dir.
- Yatay kaymayı c kadar sanmak; kayma c/b kadardır.
- Genlik |a|, periyot 2π/|b|, orta çizgi y = k.
- En büyük değer k + |a|, en küçük değer k − |a|.
- Sinüs ve tanjant tek, kosinüs çift fonksiyondur.