Konu anlatımı
Dik olmayan üçgenlerde kenarlar ile açılar arasındaki ilişkiyi iki teorem kurar. Bu alt başlıkta kosinüs teoremini, sinüs teoremini, sinüslü alan formülünü ve bir soruda hangisinin seçileceğini göreceksin. Bütün ifadelerde a, b, c kenarları sırasıyla A, B, C açılarının karşısındadır.
Kosinüs teoremi
Her üçgende a² = b² + c² − 2bc·cos A olur; öteki kenarlar için de aynı kalıp yazılır. A = 90° ise cos A = 0 olur ve teorem Pisagor bağıntısına dönüşür. İki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenar bu teoremle bulunur: b = 5, c = 3 ve A = 60° için a² = 25 + 9 − 2·5·3·(1/2) = 19 ve a = √19 olur. Üç kenar verildiğinde ise teorem açının kosinüsünü verir: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc). Kenarları 4, 5 ve 6 olan üçgende en büyük açı 6'nın karşısındadır ve kosinüsü (16 + 25 − 36)/40 = 1/8 olur.
Sinüs teoremi
Her üçgende kenarların, karşılarındaki açıların sinüslerine oranı eşittir: a/sin A = b/sin B = c/sin C. İki açı ve bir kenar verildiğinde öteki kenarlar bu oranla bulunur. Teorem ayrıca kenarların oranını açıların sinüslerinin oranına bağlar: a : b : c = sin A : sin B : sin C. Bu ortak oran, üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir: a = 6 ve A = 30° ise çap 6/sin 30° = 12 birim olur.
Sinüslü alan formülü
İki kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı bilinen üçgenin alanı, kenarların çarpımı ile aradaki açının sinüsünün çarpımının yarısıdır: Alan = (1/2)·b·c·sin A. Geniş açılarda da aynı formül geçerlidir, çünkü sin(180° − θ) = sin θ olur. Alan ve iki kenar verilmişse formül aradaki açının sinüsünü verir; açının dar mı geniş mi olduğu ayrıca belirtilmelidir, çünkü aynı sinüs değerini iki farklı açı verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenar uzunlukları 7, 8 ve 13 birim olan üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?
Çözüm. En büyük açı en uzun kenarın, yani 13 birimlik kenarın karşısındadır. Kosinüs teoreminden cos θ = (7² + 8² − 13²)/(2·7·8) = (49 + 64 − 169)/112 = −56/112 = −1/2 bulunur. Kosinüsü −1/2 olan üçgen açısı 120°'dir.
Örnek 2. Bir ABC üçgeninde A açısı 45°, B açısı 60° ve a = 6 birim olduğuna göre b kenarı kaç birimdir?
Çözüm. Sinüs teoreminden a/sin A = b/sin B, yani 6/sin 45° = b/sin 60° yazılır. b = 6·(√3/2)/(√2/2) = 6·√3/√2 olur. Payda rasyonel yapılınca b = 6·√6/2 = 3√6 birim bulunur.
Örnek 3. İki kenarının uzunluğu 4 ve 6 birim olan bir üçgenin alanı 6√3 birimkaredir. Bu iki kenarın arasındaki açı dar açı olduğuna göre üçüncü kenar kaç birimdir?
Çözüm. Alan formülünden (1/2)·4·6·sin θ = 6√3, yani sin θ = √3/2 bulunur. Açı dar olduğundan θ = 60°'dir. Kosinüs teoremiyle üçüncü kenarın karesi 16 + 36 − 2·4·6·(1/2) = 28 olur; üçüncü kenar √28 = 2√7 birimdir. Açı geniş olsaydı θ = 120° alınır ve farklı bir sonuç bulunurdu.
Sık yapılan hatalar
- Kosinüs teoreminde −2bc·cos A terimini +2bc·cos A yazmak.
- Geniş açının kosinüsünün negatif olduğunu unutup son terimi çıkarmak; eksi ile eksi çarpılınca terim toplanır.
- Sinüs teoreminde kenarı karşısındaki açıyla değil, komşu açıyla eşlemek.
- Alan formülünde iki kenarın arasındaki açı yerine başka bir açıyı kullanmak.
- a² = b² + c² − 2bc·cos A.
- a/sin A = b/sin B = c/sin C.
- Alan = (1/2)·b·c·sin A.
- İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar: kosinüs teoremi; iki açı ve bir kenar: sinüs teoremi.