Konu anlatımı
Toplam formüllerinde iki açı eşit alınırsa iki kat açı formülleri elde edilir. Bu alt başlıkta bu formülleri, cos 2x ifadesinin üç ayrı yazımını, formüllerin tersinden okunmasını ve sinüs ile kosinüsün toplamını çarpımına bağlayan kare açılımını göreceksin.
Formüller
sin 2x = 2·sin x·cos x ve cos 2x = cos²x − sin²x olur. sin²x + cos²x = 1 eşitliği kullanılarak kosinüs formülü iki biçimde daha yazılır: cos 2x = 2cos²x − 1 ve cos 2x = 1 − 2sin²x. Soruda yalnızca sinüs biliniyorsa üçüncü, yalnızca kosinüs biliniyorsa ikinci biçim seçilir. Tanjant için tan 2x = 2·tan x/(1 − tan²x) olur.
Aynı formüller açının yarısı için de yazılır: sin x = 2·sin(x/2)·cos(x/2) ve cos x = 1 − 2sin²(x/2). Formülde önemli olan, soldaki açının sağdaki açının iki katı olmasıdır.
Formülleri tersinden okumak
Bir ifadede sin x·cos x çarpımı görülürse sin 2x/2, cos²x − sin²x görülürse cos 2x yazılır. sin 15°·cos 15° = sin 30°/2 = 1/4 ve 1 − 2sin²15° = cos 30° = √3/2 olur. cos⁴x − sin⁴x ifadesi iki kare farkıyla (cos²x − sin²x)(cos²x + sin²x) = cos 2x biçimine gelir. Kosinüs formülleri kareleri de verir: sin²x = (1 − cos 2x)/2 ve cos²x = (1 + cos 2x)/2.
Toplamın karesi ve tanjanttan iki kat açı
(sin x + cos x)² = 1 + sin 2x ve (sin x − cos x)² = 1 − sin 2x olur. Bu eşitlikler sin x ± cos x değeri verilen sorularda sin 2x değerini doğrudan verir. tan x = t biliniyorsa iki kat açının değerleri t cinsinden yazılır: sin 2x = 2t/(1 + t²) ve cos 2x = (1 − t²)/(1 + t²). Bu yolda açının hangi bölgede olduğunu düşünmek gerekmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x dar açı ve sin x = 1/3 olduğuna göre sin 2x ve cos 2x kaçtır?
Çözüm. cos²x = 1 − 1/9 = 8/9 ve açı dar olduğundan cos x = 2√2/3 bulunur. sin 2x = 2·(1/3)·(2√2/3) = 4√2/9 olur. cos 2x için sinüslü biçim kullanılır: cos 2x = 1 − 2·(1/9) = 7/9.
Örnek 2. sin x + cos x = 4/3 olduğuna göre sin 2x kaçtır?
Çözüm. İki tarafın karesi alınır: 1 + sin 2x = 16/9. Buradan sin 2x = 7/9 bulunur. Verilen eşitlik anlamlıdır, çünkü sin x + cos x toplamı en çok √2 olabilir ve 4/3 bu sayıdan küçüktür.
Örnek 3. tan x = 2 olduğuna göre tan 2x, sin 2x ve cos 2x kaçtır?
Çözüm. tan 2x = 2·2/(1 − 4) = −4/3 bulunur. sin 2x = 2t/(1 + t²) = 4/5 ve cos 2x = (1 − t²)/(1 + t²) = −3/5 olur. Kontrol: sin 2x/cos 2x = (4/5)/(−3/5) = −4/3 değeri tan 2x ile aynıdır.
Sık yapılan hatalar
- sin 2x ifadesini 2·sin x diye yazmak.
- cos 2x = 2cos²x − 1 ile cos 2x = 1 − 2sin²x biçimlerinde işaretleri karıştırmak.
- tan 2x formülünde paydayı 1 + tan²x yazmak.
- sin 2x = 2·sin x·cos x.
- cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x.
- (sin x ± cos x)² = 1 ± sin 2x.