Konu anlatımı
Yatay düzlemde dönen cisimlerde ağırlık merkeze yönelik değildir; merkezcil kuvveti başka bir kuvvet sağlamak zorundadır. Bu alt başlıkta ipe bağlı cismi, dönen tablanın üstündeki cismi ve konik sarkacı göreceksin.
İpe bağlı cisim
Sürtünmesiz yatay bir masada ipin ucuna bağlı cisim çember çizerken düşeyde ağırlık ile masanın tepki kuvveti birbirini dengeler. Yatayda tek kuvvet ip gerilmesidir ve merkezcil kuvveti o sağlar: T = m·v²/r = m·ω²·r. Cisim hızlandıkça gerilme hızın karesiyle artar. Her ipin dayanabileceği bir en büyük gerilme vardır; bu değer bağıntıda yerine konarak cismin ip kopmadan dönebileceği en büyük hız bulunur. İp koparsa cisim teğet doğrultusunda, masanın üstünde düz bir çizgide kayar.
Dönen tabla
Dönen yatay bir tablanın üstünde tablayla birlikte dönen cismi çemberde tutan kuvvet statik sürtünmedir ve merkeze yöneliktir. Gereken merkezcil kuvvet m·ω²·r, sürtünmenin üst sınırı k·m·g olduğundan kaymama koşulu m·ω²·r ≤ k·m·g biçimindedir; k statik sürtünme katsayısıdır. Sınır açısal hız ω² = k·g/r bağıntısıyla bulunur. Kütle sadeleştiği için cismin ağır ya da hafif olması sonucu değiştirmez. Yarıçap büyüdükçe sınır açısal hız küçülür; bu yüzden tabla hızlandırılırken merkezden en uzaktaki cisim önce kayar.
Konik sarkaç
Tavana bağlı ipin ucundaki cisim yatay bir çember üzerinde döndürülürse ip bir koni yüzeyi tarar; bu düzeneğe konik sarkaç denir. Cisme ağırlık ve ip gerilmesi etki eder. Gerilmenin düşey bileşeni ağırlığı dengeler, yatay bileşeni merkezcil kuvveti sağlar. İpin uzunluğu L, çemberin yarıçapı r, askı noktasının çember düzlemine yüksekliği h ise bu üç uzunluk bir dik üçgen oluşturur ve kuvvet bileşenleri bu üçgenin kenarlarıyla orantılıdır: (m·v²/r)/(m·g) = r/h. Buradan v² = g·r²/h bulunur; dolanma periyodu 2·π·√(h/g) olur. İkisi de kütleye bağlı değildir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sürtünmesiz yatay bir masada 0,2 kg kütleli bir cisim, bir ucu masaya sabitlenmiş 0,5 m uzunluğundaki ipin ucunda 5 m/s sabit süratle dönüyor. İpteki gerilme kaç N'dur? İp en çok 40 N'luk gerilmeye dayanabildiğine göre cisim ip kopmadan en çok hangi süratle dönebilir?
Çözüm. Merkezcil kuvveti ip gerilmesi sağlar: m·v²/r = 0,2·25/0,5 olduğundan T = 10 N. İpin dayanma sınırı için 40 = 0,2·v²/0,5 yazılır; buradan v² = 100 ve v = 10 m/s bulunur. Sürat iki katına çıktığında gerilme dört katına çıkmıştır. Cisim 10 m/s'den hızlı döndürülürse ip kopar ve cisim teğet doğrultusunda kayarak uzaklaşır.
Örnek 2. Yatay bir döner tablada merkezden 0,5 m ve 0,125 m uzakta iki küçük cisim duruyor. Cisimlerle tabla arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,45'tir. Tablanın açısal hızı yavaşça artırılırsa cisimler hangi açısal hızlarda kaymaya başlar? (g = 10 m/s²)
Çözüm. Kayma sınırında ω² = k·g/r olur. Merkezden 0,5 m uzaktaki cisim için ω² = 0,45·10/0,5 = 9 ve ω = 3 rad/s'dir. Merkezden 0,125 m uzaktaki cisim için ω² = 0,45·10/0,125 = 36 ve ω = 6 rad/s'dir. Dıştaki cisim 3 rad/s değerinde kaymaya başlar; içteki cisim açısal hız 6 rad/s olana kadar tablayla birlikte dönmeyi sürdürür. Yarıçap dörtte birine inince sınır açısal hız iki katına çıkmıştır.
Örnek 3. Tavana bağlı 0,5 m uzunluğundaki ipin ucundaki 0,2 kg kütleli cisim, yarıçapı 0,3 m olan yatay bir çember üzerinde sabit süratle dönüyor. Cismin sürati, dolanma periyodu ve ipteki gerilme nedir? (g = 10 m/s²; π = 3)
Çözüm. İp, yarıçap ve yükseklik bir dik üçgen oluşturur: h = √(0,5² − 0,3²) = 0,4 m. Gerilmenin yatay bileşeninin düşey bileşenine oranı r/h olduğundan v² = g·r²/h = 10·0,09/0,4 = 2,25 ve v = 1,5 m/s bulunur. Dolanma periyodu 2·π·√(h/g) = 2·3·√0,04 = 1,2 s'dir; denetim için bir turun uzunluğu periyoda bölünür: 2·3·0,3/1,2 = 1,5 m/s. Gerilmenin düşey bileşeni ağırlığa eşittir ve gerilme ağırlığın L/h katıdır: 2·0,5/0,4 = 2,5 N.
Sık yapılan hatalar
- Dönen tablada sınır hızın kütleye bağlı olduğunu sanmak.
- Tabla hızlanırken merkeze yakın cismin önce kayacağını düşünmek; önce uzaktaki cisim kayar.
- Konik sarkaçta ip gerilmesini ağırlığa eşit almak; gerilmenin yalnız düşey bileşeni ağırlığa eşittir.
- Yatay masada ipe bağlı cisim: T = m·v²/r.
- Dönen tabla: ω² = k·g/r; kütleye bağlı değildir.
- Konik sarkaç: v² = g·r²/h; periyot 2·π·√(h/g).