Konu anlatımı
İpin ucunda düşey düzlemde döndürülen bir taşta ip en çok altta gerilir, en az üstte. Bu alt başlıkta düşey çemberin farklı noktalarında gerilmeyi, cismin çemberi tamamlayabilmesi için gereken en küçük hızı ve ipin kopma koşulunu göreceksin.
Kuvvetler ve gerilme
Düşey çemberde cisme ağırlık ve ip gerilmesi etki eder. Her noktada merkeze yönelik net kuvvet m·v²/r olmalıdır; v cismin o noktadaki hızıdır. En alt noktada gerilme yukarı, ağırlık aşağı yönlüdür: T − m·g = m·v²/r. En üst noktada ikisi de aşağı, yani merkeze yönlüdür: T + m·g = m·v²/r. İp yatay konumdayken ağırlık ipe diktir ve merkezcil kuvvete katkısı yoktur: T = m·v²/r. Bu yüzden gerilme en alt noktada en büyük, en üst noktada en küçük değerini alır.
Hızın değişimi
Yalnızca yer çekimi ve ip gerilmesinin etkisindeki cisimde gerilme hıza dik olduğundan iş yapmaz ve mekanik enerji korunur. Cisim alçalırken hızlanır, yükselirken yavaşlar; hareket düzgün değildir. En üst nokta ile en alt nokta arasındaki yükseklik farkı 2·r olduğundan alttaki hızın karesi, üstteki hızın karesinden 4·g·r kadar büyüktür. Bu bağıntı gerilme denklemleriyle birleştirildiğinde, en alt ve en üst noktadaki gerilmelerin farkının hızdan bağımsız olarak 6·m·g olduğu görülür.
Çemberi tamamlama ve kopma
İp itemez, yalnızca çeker; bu yüzden gerilme negatif olamaz. En üst noktada gerilmenin sıfır olduğu sınır durumda merkezcil kuvveti yalnız ağırlık sağlar: m·g = m·v²/r ve v² = g·r. Cisim en üst noktadan bundan küçük bir hızla geçemez; ip gevşer ve cisim çemberden ayrılır. Bu sınır durumda alttaki hız için v² = 5·g·r ve alttaki gerilme için 6·m·g bulunur. İp en çok en alt noktada zorlandığından kopma olacaksa orada olur; ipin dayanma sınırı alt noktadaki denklemde kullanılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kütlesi 0,3 kg olan bir taş, 1,6 m uzunluğundaki ipin ucunda düşey çember çiziyor ve en üst noktadan, ipin gergin kalabileceği en küçük hızla geçiyor. Taşın en üst ve en alt noktadaki hızı ile en alt noktadaki ip gerilmesi nedir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. En üst noktada gerilme sıfırdır ve m·g = m·v²/r yazılır: v² = g·r = 10·1,6 = 16, yani hız 4 m/s'dir. En alt noktaya inerken taş 3,2 m alçalır: v² = 16 + 2·10·3,2 = 80 ve hız yaklaşık 8,9 m/s olur. En alt noktada T − m·g = m·v²/r: T = 3 + 0,3·80/1,6 = 3 + 15 = 18 N. Bu değer ağırlığın altı katıdır; en üst noktadan sınır hızla geçen her cisim için alt noktadaki gerilme 6·m·g olur.
Örnek 2. Kütlesi 1 kg olan bir taş 1 m uzunluğundaki ipin ucunda düşey çember çiziyor. İp en çok 74 N'luk gerilmeye dayanabiliyor. İpin kopmaması için taşın en alt noktadaki hızı en çok kaç m/s olabilir? Bu hızla dönerken en üst noktadaki gerilme kaç N olur? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Gerilme en alt noktada en büyüktür: T − m·g = m·v²/r. Dayanma sınırı yerine konur: 74 − 10 = 1·v²/1, buradan v² = 64 ve v = 8 m/s. Bu hız, çemberi tamamlamak için gereken v² = 5·g·r = 50 değerinin üstündedir; taş çemberi tamamlar. En üst noktada v² = 64 − 4·10·1 = 24 olur ve T + m·g = m·v²/r eşitliğinden T = 24 − 10 = 14 N bulunur. Alt ve üst gerilmelerin farkı 74 − 14 = 60 N, yani 6·m·g kadardır.
Sık yapılan hatalar
- En üst noktada T − m·g = m·v²/r yazmak; üstte gerilme ve ağırlık aynı yönlüdür.
- En üst noktada en küçük hızı sıfır almak; ipe bağlı cisimde en küçük hız √(g·r) değeridir.
- Alt ve üst noktada hızı aynı almak; cisim alçalırken hızlanır.
- Altta T − m·g = m·v²/r; üstte T + m·g = m·v²/r; yatayda T = m·v²/r.
- Çemberi tamamlamak için üstte v² ≥ g·r, altta v² ≥ 5·g·r olmalıdır.
- Alt ve üst gerilmelerin farkı 6·m·g kadardır; ip kopacaksa altta kopar.