Konu anlatımı
İlerleyen bir bisiklet tekerleği hem döner hem ötelenir. Bu alt başlıkta dönme hareketini öteleme hareketiyle karşılaştırmayı, dönme hareketindeki değişime karşı direnci anlatan eylemsizlik momentini ve yuvarlanan cisimlerin kinetik enerjisini nitel olarak göreceksin. Öğretim programı bu başlıkta hesaplamaya girmez.
Öteleme ve dönme
Öteleme hareketinde cismin bütün noktaları aynı hızla aynı yönde ilerler; dönme hareketinde ise noktalar bir eksen çevresinde çember çizer ve eksene uzaklıklarına göre farklı çizgisel hızlara sahiptir. İki hareketin büyüklükleri birbirinin karşılığıdır: yer değiştirmenin karşılığı dönme açısı, hızın karşılığı açısal hız, ivmenin karşılığı açısal ivme, kuvvetin karşılığı tork, kütlenin karşılığı eylemsizlik momentidir. Kaymadan yuvarlanan tekerlek iki hareketi birlikte yapar; yere değen noktası o an için durgun, en üst noktası ise merkezin iki katı hızla hareket eder.
Eylemsizlik momenti
Kütle, bir cismin öteleme hareketindeki değişime karşı gösterdiği direncin ölçüsüdür. Dönme hareketinde bu direncin ölçüsü eylemsizlik momentidir ve I ile gösterilir. Eylemsizlik momenti yalnızca kütleye değil, kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığına da bağlıdır: kütle eksenden ne kadar uzaktaysa eylemsizlik momenti o kadar büyüktür. Dönme ekseninden r uzaklıktaki noktasal bir kütle için model I = m·r² biçimindedir. Aynı cismin eylemsizlik momenti, seçilen dönme eksenine göre değişir: bir çubuğu ortasından geçen eksen çevresinde çevirmek, ucundan geçen eksen çevresinde çevirmekten kolaydır.
Dönme ve dönerek öteleme kinetik enerjisi
Bir eksen çevresinde dönen cismin dönme kinetik enerjisi vardır; bu enerji eylemsizlik momentine ve açısal hızın karesine bağlıdır: ½·I·ω². Dönerek öteleyen cismin kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamıdır. Eğik düzlemden kaymadan yuvarlanan cisimde potansiyel enerji bu iki enerjiye birlikte dönüşür; kütlesi eksenden uzağa dağılmış cisimde enerjinin daha büyük bölümü dönmeye gittiği için öteleme hızı küçük kalır. Öğretim programı bu enerjilerde hesaplamaya girmez; hangi değişkenlere bağlı olduklarını bilmen beklenir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kütleleri ve yarıçapları eşit olan içi dolu bir silindir ile ince bir halka, aynı eğik düzlemin tepesinden aynı anda bırakılıyor ve kaymadan yuvarlanıyor. Hangisi alt uca önce ulaşır? Neden?
Çözüm. İkisinin de başlangıçtaki potansiyel enerjisi aynıdır ve bu enerji öteleme ile dönme kinetik enerjisine dönüşür. Halkanın kütlesinin tamamı eksenden en uzakta, çevrede toplanmıştır; eylemsizlik momenti büyüktür. Dolu silindirin kütlesi eksene daha yakın dağılmıştır; eylemsizlik momenti küçüktür. Halka enerjisinin daha büyük bölümünü dönmeye harcar ve öteleme hızı küçük kalır. Dolu silindir daha hızlı ilerler ve alt uca önce ulaşır. Sonucu belirleyen, kütlenin eksene göre nasıl dağıldığıdır.
Örnek 2. Bir ip cambazı dengede kalmak için elinde uzun bir çubuk taşır. Bir patenci ise kollarını açtığında daha yavaş, kapattığında daha hızlı döner. Bu iki durumu eylemsizlik momentiyle açıklayınız.
Çözüm. Uzun çubuğun kütlesi, cambazın devrilme eksenine göre uzağa yayılmıştır; bu, cambaz ile çubuğun toplam eylemsizlik momentini büyütür. Eylemsizlik momenti büyük olan sistem dönmeye karşı daha çok direnir; cambaz bir yana yatmaya başladığında bu hareket yavaş gelişir ve cambaz dengesini düzeltmeye zaman bulur. Patenci kollarını açtığında kütlesinin bir bölümü dönme ekseninden uzaklaşır ve eylemsizlik momenti artar; kollarını kapattığında azalır. İki örnekte de kütle değişmemiş, kütlenin eksene göre dağılımı değişmiştir.
Sık yapılan hatalar
- Eylemsizlik momentinin yalnızca kütleye bağlı olduğunu sanmak; kütlenin eksene göre dağılımı da belirleyicidir.
- Yuvarlanan cisimde yalnız öteleme kinetik enerjisi olduğunu düşünmek.
- Aynı kütleli bütün cisimlerin eğik düzlemden aynı sürede yuvarlanacağını varsaymak.
- Eylemsizlik momenti, dönme hareketindeki değişime karşı direncin ölçüsüdür; kütle eksenden uzaklaştıkça büyür.
- Dönerek öteleyen cismin kinetik enerjisi, öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamıdır.
- Kütlenin dönmedeki karşılığı eylemsizlik momenti, kuvvetin karşılığı torktur.