Konu anlatımı
Çembersel hareket sorularının büyük bölümü sayı değil oran sorar: hangi cismin hızı, ivmesi ya da periyodu daha büyüktür? Bu alt başlıkta aynı eksende dönen noktaları, farklı pistlerdeki cisimleri ve kayışla bağlı kasnakları karşılaştırmayı göreceksin.
Aynı eksen çevresinde dönen noktalar
Bir atlıkarıncanın, bir kapının ya da dönen bir diskin bütün noktaları bir turu aynı sürede tamamlar. Bu yüzden periyotları, frekansları ve açısal hızları eşittir. Çizgisel hız v = ω·r olduğundan eksene uzaklıkla doğru orantılıdır: eksenden iki kat uzaktaki nokta iki kat hızlıdır. Merkezcil ivme için a = ω²·r biçimi kullanılır; açısal hız ortak olduğundan ivme de yarıçapla doğru orantılıdır.
Farklı yörüngelerdeki cisimler
Cisimler ayrı ayrı dönüyorsa önce hangi büyüklüklerin verildiğine bakılır. Yarıçap ve periyot verilmişse v = 2·π·r/T, ω = 2·π/T ve a = 4·π²·r/T² bağıntılarıyla oranlar kurulur. Çizgisel hızlar eşitse a = v²/r biçimi kullanılır ve ivme yarıçapla ters orantılı çıkar. Aynı büyüklük, hangi niceliğin sabit tutulduğuna göre yarıçapla doğru ya da ters orantılı olabilir; bu yüzden ezber yerine bağıntıyı yazıp verilenleri yerine koymak gerekir.
Kayış ve dişliyle bağlı tekerlekler
Kayışla bağlı iki kasnağın ya da birbirine geçen iki dişlinin çevrelerindeki noktalar aynı sürede eşit yol alır; yani çizgisel hızları eşittir. Bu durumda v = ω·r bağıntısından açısal hız yarıçapla ters orantılı bulunur: küçük kasnak daha hızlı döner. Çevre noktalarının merkezcil ivmesi a = v²/r olduğundan o da yarıçapla ters orantılıdır. Aynı mile bağlı tekerleklerde ise açısal hızlar eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir atlıkarınca bir turunu 6 s'de tamamlıyor. K atı dönme eksenine 1 m, L atı 3 m uzaklıktadır. Atların açısal hızlarını, çizgisel hızlarını ve merkezcil ivmelerini bulunuz. (π = 3)
Çözüm. İki at da aynı eksen çevresinde döndüğünden açısal hızları eşittir: ω = 2·π/T = 6/6 = 1 rad/s. Çizgisel hızlar v = ω·r bağıntısından K için 1 m/s, L için 3 m/s'dir. Merkezcil ivmeler a = ω²·r bağıntısından K için 1 m/s², L için 3 m/s² olur. Eksenden üç kat uzaktaki L atının hem çizgisel hızı hem merkezcil ivmesi üç kat büyüktür.
Örnek 2. Yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapan K cisminin yörünge yarıçapı r, periyodu T; L cisminin yörünge yarıçapı 2r, periyodu 4T'dir. L'nin çizgisel hızı, açısal hızı ve merkezcil ivmesi K'ninkilerin kaç katıdır?
Çözüm. Çizgisel hız v = 2·π·r/T olduğundan yarıçapla doğru, periyotla ters orantılıdır: L için oran 2/4, yani yarımdır. Açısal hız ω = 2·π/T olduğundan yalnız periyoda bağlıdır: L için oran dörtte birdir. Merkezcil ivme a = 4·π²·r/T² olduğundan yarıçapla doğru, periyodun karesiyle ters orantılıdır: L için oran 2/16, yani sekizde birdir. Yarıçapı büyük olan L cismi, periyodu daha da büyük olduğu için üç büyüklükte de geride kalmıştır.
Örnek 3. Yarıçapları 10 cm ve 30 cm olan K ve L kasnakları kaymayan bir kayışla bağlanmıştır. Kasnakların çevrelerindeki noktaların çizgisel hızlarını, açısal hızlarını ve merkezcil ivmelerini karşılaştırınız.
Çözüm. Kayış kaymadığı için iki kasnağın çevresindeki noktaların çizgisel hızları eşittir. Açısal hız ω = v/r olduğundan yarıçapla ters orantılıdır: küçük kasnak K'nin açısal hızı L'ninkinin 3 katıdır. Merkezcil ivme a = v²/r olduğundan o da yarıçapla ters orantılıdır: K'nin çevresindeki noktanın ivmesi L'ninkinin 3 katıdır. Aynı eksende dönen noktalardakinin tersine, burada yarıçapı küçük olanın ivmesi büyüktür.
Sık yapılan hatalar
- Merkezcil ivmenin her durumda yarıçapla ters orantılı olduğunu sanmak; açısal hız ortaksa yarıçapla doğru orantılıdır.
- Kayışla bağlı kasnakların açısal hızlarını eşit almak; eşit olan çizgisel hızlardır.
- Periyot oranını ivme oranına geçirirken karesini almayı unutmak.
- Aynı eksen: açısal hız eşit; çizgisel hız ve ivme yarıçapla doğru orantılı.
- Kayış ya da dişli: çizgisel hız eşit; açısal hız ve ivme yarıçapla ters orantılı.
- a = v²/r = ω²·r = 4·π²·r/T²; verilenlere uygun biçimi seç.