Konu anlatımı
Nüfus artışı, bakteri çoğalması ve radyoaktif bozunma gibi olaylarda büyüklük, eşit sürelerde aynı oranda değişir. Ses, deprem ve asitlik gibi çok geniş aralıkta değişen büyüklükler ise logaritmik ölçeklerle ifade edilir. Bu alt başlıkta bu iki tür modeli kurmayı ve yorumlamayı göreceksin.
Üstel büyüme
Bir büyüklük her zaman biriminde aynı sayıyla çarpılıyorsa t süre sonraki değeri N(t) = N₀·aᵗ olur; N₀ başlangıç değeri, a büyüme çarpanıdır. Her dönemde yüzde 20 artış a = 1,2 demektir. Büyüklük her T sürede iki katına çıkıyorsa N(t) = N₀·2^(t/T) yazılır; üs, geçen sürede kaç kez ikiye katlanma olduğunu gösterir. Her 4 saatte üç katına çıkan 200 bakterilik bir kültürde 12 saat sonra 200·3³ = 5400 bakteri bulunur.
Üstel azalma ve yarı ömür
Büyüme çarpanı 0 ile 1 arasındaysa büyüklük azalır. Her saatte yüzde 20 azalan bir miktar için a = 0,8 olur: 250 miligramlık bir ilaçtan 2 saat sonra 250·0,8² = 160 miligram kalır. Radyoaktif bir maddenin miktarının yarıya inmesi için geçen süreye yarı ömür denir. Yarı ömrü T olan bir maddenin t süre sonraki miktarı N(t) = N₀·(1/2)^(t/T) olur. Yarı ömür miktara bağlı değildir: 80 gramın 40 grama inmesi ile 40 gramın 20 grama inmesi aynı süreyi alır.
Süre soruları ve logaritma
Bir büyüklüğün belli bir değere ne zaman ulaşacağı sorulduğunda bilinmeyen üstedir. Değer çarpanın tam kuvvetiyse üsler eşitlenir; değilse logaritma alınır. 1,2ᵗ > 3 eşitsizliğinde iki tarafın onluk logaritması alınır: t·log 1,2 > log 3. log 2 yaklaşık 0,301 ve log 3 yaklaşık 0,477 alınırsa log 1,2 = log 12 − 1 = 2·0,301 + 0,477 − 1 = 0,079 bulunur ve t > 0,477/0,079, yani yaklaşık t > 6,04 olur.
Logaritmik ölçekler
Ses düzeyi desibel birimiyle L = 10·log(I/I₀) biçiminde tanımlanır; I sesin şiddeti, I₀ duyulabilen en düşük şiddettir. Şiddet 10 katına çıkınca düzey 10 desibel artar. Richter ölçeğinde bir depremin büyüklüğü, ölçülen dalga genliğinin bir başvuru genliğine oranının onluk logaritmasıdır; büyüklükteki 1 birimlik artış genliğin 10 katına çıkması demektir. Bir çözeltinin pH değeri, hidrojen iyonu derişiminin onluk logaritmasının ters işaretlisidir; derişim 10⁻³ ise pH 3 olur. Bu üç ölçekte de ölçekteki fark, büyüklükler arasındaki oranın logaritmasıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yarı ömrü 8 gün olan radyoaktif bir maddeden 240 gram vardır. 24 gün sonra kaç gram madde kalır? Madde miktarı kaç gün sonra 15 grama iner?
Çözüm. 24 gün, 3 yarı ömürdür; kalan miktar 240·(1/2)³ = 30 gramdır. 15 gram için 240·(1/2)ⁿ = 15, yani (1/2)ⁿ = 1/16 ve n = 4 bulunur; 4 yarı ömür 32 gün eder. Her yarı ömürde miktarın yarıya indiğini adım adım yazmak da aynı sonucu verir: 240, 120, 60, 30, 15.
Örnek 2. Bir gölde yosunla kaplı alan her hafta yüzde 20 artmaktadır. Kaplı alan en az kaç tam hafta sonra başlangıçtaki alanın 3 katını geçer? (log 2 yaklaşık 0,301 ve log 3 yaklaşık 0,477 alınız.)
Çözüm. t hafta sonra alan başlangıcın 1,2ᵗ katı olur; 1,2ᵗ > 3 olmalıdır. Onluk logaritma alınır: t·log 1,2 > log 3. log 1,2 = log 12 − log 10 = 2·0,301 + 0,477 − 1 = 0,079 bulunur. t > 0,477/0,079 eşitsizliğinden t yaklaşık 6,04'ten büyük olmalıdır. En az 7 tam hafta gerekir. Gerçekten 1,2⁶ yaklaşık 2,99 ve 1,2⁷ yaklaşık 3,58 eder.
Örnek 3. Ses düzeyi L = 10·log(I/I₀) bağıntısıyla hesaplanmaktadır. Düzeyi 80 desibel olan bir sesin şiddeti, düzeyi 50 desibel olan bir sesin şiddetinin kaç katıdır?
Çözüm. İki sesin düzeyleri farkı 10·log(I₁/I₀) − 10·log(I₂/I₀) = 10·log(I₁/I₂) olur. 80 − 50 = 30 olduğundan log(I₁/I₂) = 3 ve I₁/I₂ = 10³ = 1000 bulunur. Birinci ses ikincinin 1000 katı şiddettedir; düzeylerin oranı olan 1,6 bu sorunun cevabı değildir.
Sık yapılan hatalar
- Yüzde 20 artışı her dönem aynı miktarın eklenmesi sanmak; her dönem o andaki değerin yüzde 20'si eklenir.
- Yarı ömür sorusunda iki yarı ömür sonunda maddenin tamamen bittiğini düşünmek; dörtte biri kalır.
- Desibel farkını şiddet oranı olarak yorumlamak; 30 desibel fark 1000 kat şiddet demektir.
- Süre sorusunda bulunan ondalıklı değeri aşağı yuvarlamak; değeri geçmek için bu sayıdan büyük ilk tam sayı alınır.
- Üstel büyüme ve azalma: N(t) = N₀·aᵗ.
- Yarı ömrü T olan madde: N(t) = N₀·(1/2)^(t/T).
- Bilinmeyen üsteyse üsleri eşitle ya da logaritma al.
- Logaritmik ölçekte fark, oranın logaritmasıdır.