Konu anlatımı
2ˣ = 8 denklemini kolayca çözersin, ama 2ˣ = 5 denkleminin çözümünü yazmak için yeni bir gösterim gerekir. Bu alt başlıkta logaritmanın tanımını, üslü biçimle logaritmik biçim arasında geçişi, onluk ve doğal logaritmayı ve logaritmik ifadelerin tanım kümesini bulmayı göreceksin.
Tanım
a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 olmak üzere y = logₐ x eşitliği aʸ = x demektir. logₐ x ifadesi a tabanında x sayısının logaritması diye okunur ve şu soruyu yanıtlar: a sayısının hangi kuvveti x eder? log₂ 32 = 5, çünkü 2⁵ = 32; log₃(1/9) = −2, çünkü 3⁻² = 1/9; log₅ √5 = 1/2, çünkü 5 sayısının 1/2. kuvveti √5 olur; log₄ 8 = 3/2, çünkü 4 sayısının 3/2. kuvveti 8 eder. Her tabanda logₐ 1 = 0 ve logₐ a = 1 olur.
Onluk ve doğal logaritma
Tabanı 10 olan logaritmaya onluk logaritma denir ve taban yazılmaz: log 1000 = 3 ve log 0,001 = −3 olur. Tabanı e olan logaritmaya doğal logaritma denir ve ln x ile gösterilir; e yaklaşık 2,718 değerinde irrasyonel bir sayıdır. ln e = 1 ve ln e³ = 3 olur. Tam sayı kuvveti olmayan değerler de vardır: 2ˣ = 5 denkleminin çözümü x = log₂ 5 sayısıdır ve yaklaşık 2,32 eder.
Tanım kümesi
Bir logaritmik ifadenin tanımlı olması için logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır; tabanda bilinmeyen varsa taban da pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. f(x) = log₂(x − 3) fonksiyonu x > 3 için, f(x) = log(5 − 2x) fonksiyonu x < 5/2 için tanımlıdır. İçerideki ifade ikinci derecedense bir eşitsizlik çözülür. Koşulların hepsi birlikte sağlanmalıdır; tanım kümesi bu koşulların kesişimidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. log₂ 32 + log₃(1/9) + log₅ √5 + log 0,001 + ln e³ toplamı kaçtır?
Çözüm. Her terim bir üstür: log₂ 32 = 5, log₃(1/9) = −2, log₅ √5 = 1/2, log 0,001 = −3 ve ln e³ = 3. Toplam 5 − 2 + 1/2 − 3 + 3 = 7/2 bulunur.
Örnek 2. f(x) = log₃(x² − 5x + 4) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözüm. Logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır: x² − 5x + 4 > 0. İfade (x − 1)(x − 4) biçiminde çarpanlarına ayrılır; baş katsayı pozitif olduğundan köklerin dışında pozitiftir. Tanım kümesi (−∞, 1) ∪ (4, ∞) olur. 1 ve 4 dahil değildir, çünkü bu değerlerde ifade sıfır olur.
Örnek 3. f(x) fonksiyonu, x − 2 tabanında 7 − x sayısının logaritması olarak tanımlanıyor. Bu fonksiyonun tanım kümesinde kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Üç koşul yazılır. Taban pozitif olmalıdır: x − 2 > 0, yani x > 2. Taban 1'den farklı olmalıdır: x − 2 ≠ 1, yani x ≠ 3. Logaritması alınan sayı pozitif olmalıdır: 7 − x > 0, yani x < 7. Tanım kümesi 2 < x < 7 ve x ≠ 3 koşullarını sağlayan sayılardır; tam sayılar 4, 5 ve 6 olmak üzere 3 tanedir.
Sık yapılan hatalar
- Tanım kümesinde logaritması alınan ifadeyi sıfıra eşit de kabul etmek; ifade kesin pozitif olmalıdır.
- Tabanında bilinmeyen olan logaritmada tabanın 1'den farklı olma koşulunu unutmak.
- log₃(1/9) gibi değerlerde sonucun negatif olabileceğini düşünmeyip 2 yazmak; logaritmanın değeri negatif olabilir, logaritması alınan sayı olamaz.
- y = logₐ x ⇔ aʸ = x.
- Koşullar: a > 0, a ≠ 1 ve x > 0.
- log x: taban 10; ln x: taban e.
- logₐ 1 = 0 ve logₐ a = 1.