Konu anlatımı
Bilinmeyenin üste bulunduğu denklemlere üstel denklem denir. Bu alt başlıkta üç çözüm yolunu göreceksin: tabanları eşitlemek, üstel ifadeye yeni bir harf vermek ve iki tarafın logaritmasını almak.
Tabanları eşitlemek
Üstel fonksiyon bire bir olduğundan aynı tabanlı iki kuvvet eşitse üsleri de eşittir. Bu yüzden iki taraf aynı tabanın kuvveti olarak yazılır. 2ˣ⁺³ = 4ˣ⁻¹ denkleminde 4 = 2² olduğundan sağ taraf 2 üzeri 2(x − 1) olur; x + 3 = 2x − 2 eşitliğinden x = 5 bulunur. Kesirli tabanlar negatif üsle yazılır: (1/4)ˣ = 8 denkleminde 2⁻²ˣ = 2³ ve x = −3/2 olur. Sağ taraf 1 ise üs sıfıra eşitlenir, çünkü a⁰ = 1 olur.
Değişken değiştirmek
4ˣ = (2ˣ)² ve 2ˣ⁺¹ = 2·2ˣ gibi eşitlikler sayesinde birçok denklem 2ˣ = t dönüşümüyle ikinci dereceye iner. 4ˣ − 2ˣ − 12 = 0 denkleminde t² − t − 12 = 0 ve t = 4 ya da t = −3 bulunur. 2ˣ negatif olamayacağı için t = −3 atılır; 2ˣ = 4 eşitliğinden x = 2 çıkar. Ortak çarpan alınabilen denklemlerde dönüşüme gerek kalmaz: 3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁻¹ = 30 denkleminde 3ˣ·(3 + 1/3) = 30, yani 3ˣ = 9 ve x = 2 olur.
Logaritma almak
İki taraf aynı tabanda yazılamıyorsa çözüm bir logaritmadır. 3ˣ = 7 denkleminin çözümü x = log₃ 7 sayısıdır; yaklaşık 1,77 eder. Üste bir ifade varsa önce o ifade bulunur: 5²ˣ⁻¹ = 8 denkleminde 2x − 1 = log₅ 8 ve x = (1 + log₅ 8)/2 olur. Çözümü logaritma olarak bırakmak tam ve doğru bir cevaptır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 2ˣ + 2³⁻ˣ = 6 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm. 2³⁻ˣ = 8/2ˣ olduğundan 2ˣ = t denirse t + 8/t = 6 elde edilir. İki taraf t ile çarpılır: t² − 6t + 8 = 0, yani (t − 2)(t − 4) = 0. t = 2 için x = 1, t = 4 için x = 2 bulunur; iki değer de pozitif olduğundan uygundur. Kökler toplamı 3'tür.
Örnek 2. 3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁻¹ = 30 denkleminin çözümü nedir?
Çözüm. İki terim de 3ˣ cinsinden yazılır: 3·3ˣ + 3ˣ/3 = 30. 3ˣ parantezine alınınca 3ˣ·(10/3) = 30 ve 3ˣ = 9 bulunur. Buradan x = 2 çıkar. Kontrol: 3³ + 3¹ = 27 + 3 = 30.
Örnek 3. 4ˣ − 2ˣ − 12 = 0 denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
Çözüm. 2ˣ = t dönüşümüyle t² − t − 12 = (t − 4)(t + 3) = 0 bulunur. t = 4 için x = 2 olur. t = −3 için 2ˣ = −3 eşitliğini sağlayan gerçek sayı yoktur, çünkü 2ˣ her zaman pozitiftir. Denklemin tek gerçek kökü vardır. t için iki değer çıkması, x için iki kök olduğu anlamına gelmez.
Sık yapılan hatalar
- Negatif t değerinden de kök bulmaya çalışmak.
- 2ˣ⁺¹ ifadesini 2ˣ + 2 diye açmak; doğrusu 2·2ˣ biçimidir.
- Tabanlar farklıyken üsleri eşitlemek.
- 4ˣ ifadesini 2·2ˣ sanmak; doğrusu (2ˣ)² biçimidir.
- Aynı tabanda yaz, üsleri eşitle.
- aˣ = t dönüşümünde t pozitif olmalıdır.
- aˣ = b ise x = logₐ b olur.