Konu anlatımı
Bilinmeyenin logaritmanın içinde ya da tabanında bulunduğu denklemlere logaritmik denklem denir. Bu alt başlıkta tanım koşulunun neden ilk adım olduğunu, logaritmayı üsse çevirmeyi, kurallarla denklemi sadeleştirmeyi, değişken değiştirmeyi ve tabanında bilinmeyen olan denklemleri göreceksin.
Tanım koşulu ve üsse çevirme
Her logaritmik denklemde önce logaritması alınan ifadelerin pozitif olma koşulu yazılır. Sonra denklem logₐ f(x) = c biçimine getirilir ve f(x) = aᶜ eşitliğine çevrilir: log₂(x + 1) = 3 ise x + 1 = 8 ve x = 7 olur. İki tarafta aynı tabanlı birer logaritma varsa içleri eşitlenir: log₅(2x − 3) = log₅(x + 4) ise 2x − 3 = x + 4 ve x = 7 bulunur. Her iki durumda da bulunan değer tanım koşuluyla karşılaştırılır.
Kurallarla sadeleştirme
Birden çok logaritma varsa toplam çarpıma, fark bölüme çevrilerek tek logaritma elde edilir. log(x − 2) + log(x − 5) = 1 denkleminde tanım koşulu x > 5 olmasıdır. Toplam kuralıyla (x − 2)(x − 5) = 10, yani x² − 7x = 0 bulunur; kökler 0 ve 7'dir. 0 tanım koşulunu sağlamaz; çözüm x = 7 olur. Kurallar uygulanırken tanım kümesi genişleyebildiği için sahte kökler ortaya çıkar; bu yüzden koşul baştaki denkleme göre yazılır.
Değişken değiştirme ve farklı tabanlar
Aynı logaritma birkaç kez geçiyorsa ona t denir: (log₂ x)² − 3·log₂ x − 4 = 0 denkleminde t² − 3t − 4 = 0 ve t = 4 ya da t = −1 bulunur. Burada t negatif olabilir, çünkü logaritmanın değeri her gerçek sayı olabilir; x = 16 ya da x = 1/2 çıkar. Tabanlar farklıysa ortak tabana geçilir: log₄ x = (1/2)·log₂ x olduğundan log₂ x + log₄ x = 6 denklemi (3/2)·log₂ x = 6 biçimine gelir; log₂ x = 4 ve x = 16 bulunur.
Tabanında bilinmeyen olan denklemler
Bilinmeyen tabandaysa taban için x > 0 ve x ≠ 1 koşulları yazılır. x tabanında 3x + 4 sayısının logaritması 2 ise tanımdan x² = 3x + 4, yani x² − 3x − 4 = 0 bulunur; kökler 4 ve −1'dir. Taban negatif olamayacağı için x = 4 alınır. Kontrol: 4² = 16 ve 3·4 + 4 = 16.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. log₃(x + 2) + log₃(x − 6) = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. Tanım koşulu x + 2 > 0 ve x − 6 > 0, yani x > 6 olmasıdır. Toplam kuralıyla log₃((x + 2)(x − 6)) = 2 ve (x + 2)(x − 6) = 9 yazılır. x² − 4x − 21 = 0 denklemi (x − 7)(x + 3) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. −3 tanım koşulunu sağlamaz; çözüm kümesi {7} olur. Kontrol: log₃ 9 + log₃ 1 = 2 + 0 = 2.
Örnek 2. (log₂ x)² − 3·log₂ x − 4 = 0 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm. log₂ x = t denirse t² − 3t − 4 = (t − 4)(t + 1) = 0 bulunur. t = 4 için x = 2⁴ = 16, t = −1 için x = 2⁻¹ = 1/2 olur; ikisi de pozitiftir ve uygundur. Köklerin çarpımı 16·(1/2) = 8'dir. Kısa yol: t değerlerinin toplamı 3 olduğundan köklerin çarpımı 2³ = 8 olur.
Örnek 3. 1'den farklı pozitif x sayısı için, x tabanında 2 sayısının logaritması ile log₂ x toplamı 5/2 olduğuna göre x hangi değerleri alabilir?
Çözüm. x tabanında 2 sayısının logaritması, log₂ x sayısının çarpmaya göre tersidir. log₂ x = t denirse 1/t + t = 5/2, yani 2t² − 5t + 2 = 0 ve (2t − 1)(t − 2) = 0 bulunur. t = 2 için x = 4, t = 1/2 için x = √2 olur. İki değer de pozitif ve 1'den farklıdır; ikisi de çözümdür.
Sık yapılan hatalar
- Tanım koşulunu yazmadan bulunan bütün kökleri çözüm saymak.
- Değişken değiştirmede negatif t değerini atmak; logaritmanın değeri negatif olabilir.
- log₂ x + log₄ x toplamını log₆ x ya da log₂ x² diye yazmak; önce tabanlar eşitlenir.
- Tabanında bilinmeyen olan denklemde tabanın 1'den farklı ve pozitif olma koşulunu unutmak.
- Önce tanım koşulu, sonra çözüm, en sonda kök kontrolü.
- logₐ f(x) = c ise f(x) = aᶜ.
- Tabanlar farklıysa ortak tabana geç.