Konu anlatımı
Üstel fonksiyonda değişken üstedir ve fonksiyon eşit adımlarda aynı sayıyla çarpılarak büyür ya da küçülür. Bu alt başlıkta üstel fonksiyonun tanımını, tabana göre davranışını, grafiğinin özelliklerini, dönüşümlerle değişen görüntü kümesini ve grafikten kural bulmayı göreceksin.
Tanım ve koşullar
a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ fonksiyonuna üstel fonksiyon denir. Taban negatif olamaz, çünkü örneğin (−4) sayısının 1/2. kuvveti gerçek sayı değildir. Taban 1 de olamaz, çünkü 1ˣ her x için 1'dir ve sabit bir fonksiyon verir. Tanım kümesi bütün gerçek sayılar, görüntü kümesi (0, ∞) aralığıdır. Fonksiyon bire birdir ve pozitif gerçek sayılara örtendir; bu yüzden tersi vardır ve bu ters logaritma fonksiyonudur.
Grafiğin özellikleri
y = 2ˣ fonksiyonu x = −2, −1, 0, 1, 2, 3 için sırasıyla 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8 değerlerini alır: x bir birim arttıkça değer iki katına çıkar. Grafik (0, 1) noktasından geçer, sağa doğru hızla yükselir, sola doğru x eksenine yaklaşır ama eksene değmez. y = (1/2)ˣ fonksiyonu aynı x değerleri için 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8 değerlerini alır; grafiği y = 2ˣ grafiğinin y eksenine göre yansımasıdır, çünkü (1/2)ˣ = 2⁻ˣ olur.
Genel olarak a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise azalandır. Artan durumda taban büyüdükçe grafik x > 0 için daha hızlı yükselir.
Dönüşümler ve görüntü kümesi
y = b·aˣ + c fonksiyonunda c grafiği düşey yönde kaydırır; b pozitifse görüntü kümesi (c, ∞), b negatifse (−∞, c) olur. y = 2ˣ⁻¹ + 3 grafiği, y = 2ˣ grafiğinin 1 birim sağa ve 3 birim yukarı ötelenmişidir: (0, 1) noktası (1, 4) noktasına gider ve görüntü kümesi (3, ∞) olur. f(x) = 4 − 2⁻ˣ fonksiyonunda 2⁻ˣ pozitif olduğundan f(x) < 4 olur; görüntü kümesi (−∞, 4) aralığıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = 3·2ˣ − 5 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir? Grafiği y eksenini hangi noktada keser?
Çözüm. 2ˣ pozitif olduğundan 3·2ˣ de pozitiftir ve bütün pozitif değerleri alır; 5 çıkarılınca görüntü kümesi (−5, ∞) olur. x = 0 için f(0) = 3·1 − 5 = −2 bulunur; grafik y eksenini (0, −2) noktasında keser. −5 değeri görüntü kümesinde değildir, çünkü 2ˣ sıfır olamaz.
Örnek 2. f(x) = b·aˣ fonksiyonunun grafiği (0, 3) ve (2, 12) noktalarından geçmektedir. a pozitif olduğuna göre f(3) kaçtır?
Çözüm. x = 0 için b·a⁰ = b = 3 bulunur. x = 2 için 3·a² = 12, yani a² = 4 ve a pozitif olduğundan a = 2 olur. Fonksiyon f(x) = 3·2ˣ biçimindedir ve f(3) = 3·8 = 24 bulunur.
Örnek 3. f(x) = (m − 2)ˣ fonksiyonu azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre m hangi aralıktadır?
Çözüm. Üstel fonksiyonun azalan olması için taban 0 ile 1 arasında olmalıdır: 0 < m − 2 < 1. Her tarafa 2 eklenince 2 < m < 3 bulunur. m = 3 alınamaz, çünkü taban 1 olur ve fonksiyon üstel değildir.
Sık yapılan hatalar
- Üstel fonksiyonun negatif ya da sıfır değer alabileceğini düşünmek.
- 0 < a < 1 iken fonksiyonu artan sanmak.
- y = 2ˣ ile y = x² fonksiyonlarını karıştırmak; ilkinde değişken üstedir.
- y = b·aˣ + c fonksiyonunun görüntü kümesine c sayısını dahil etmek.
- f(x) = aˣ: a > 0, a ≠ 1; tanım kümesi gerçek sayılar, görüntü kümesi (0, ∞).
- a > 1 ise artan, 0 < a < 1 ise azalan.
- Grafik (0, 1) noktasından geçer ve x eksenine değmez.