Konu anlatımı
Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonun tersidir; grafiği de üstel fonksiyonun grafiğinden elde edilir. Bu alt başlıkta logaritma fonksiyonunun grafiğini, artan ya da azalan olmasını, üstel ve logaritmik fonksiyonların tersini bulmayı, grafikten taban okumayı ve görüntü kümesi sorularını göreceksin.
Grafik ve temel özellikler
a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = logₐ x fonksiyonunun tanım kümesi (0, ∞), görüntü kümesi bütün gerçek sayılardır. Grafik her tabanda (1, 0) noktasından geçer, y ekseninin sağında kalır ve y eksenine yaklaşır ama değmez. a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise azalandır. y = aˣ ile y = logₐ x birbirinin tersi olduğundan grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir: y = 2ˣ grafiğindeki (0, 1) ve (3, 8) noktalarına karşılık y = log₂ x grafiğinde (1, 0) ve (8, 3) noktaları vardır.
Ters fonksiyonu bulmak
Logaritmik bir fonksiyonun tersini bulmak için logaritma yalnız bırakılır ve üsse çevrilir. f(x) = log₂(x − 1) + 3 için y − 3 = log₂(x − 1), yani x − 1 = 2ʸ⁻³ ve x = 2ʸ⁻³ + 1 olur; f⁻¹(x) = 2ˣ⁻³ + 1 bulunur. Üstel bir fonksiyonda ise üstel terim yalnız bırakılır ve logaritma alınır: f(x) = 2·3ˣ − 1 için 3ˣ = (y + 1)/2 ve f⁻¹(x) = log₃((x + 1)/2) olur. Tersin tanım kümesi, fonksiyonun görüntü kümesidir.
Grafikten taban okumak
y = logₐ x grafiği üzerindeki bir nokta tabanı verir: grafik (9, 2) noktasından geçiyorsa a² = 9 ve a = 3 olur. Tabanları 1'den büyük olan iki logaritma grafiği karşılaştırılırken x > 1 için tabanı büyük olanın değeri daha küçüktür: log₂ 8 = 3 iken log₈ 8 = 1 olur. Tabanı 1/2 olan logaritma fonksiyonu azalandır; grafiği (1, 0), (2, −1) ve (4, −2) noktalarından geçer.
Görüntü kümesi ve en büyük değer
Tanım kümesi kısıtlanırsa görüntü kümesi de kısıtlanır. f(x) = log₂ x fonksiyonu artan olduğundan [1/4, 8] aralığındaki görüntü kümesi [log₂(1/4), log₂ 8] = [−2, 3] olur. İçeride başka bir ifade varsa önce o ifadenin alabileceği değerler bulunur: x² + 9 en az 9 olduğundan log₃(x² + 9) fonksiyonunun görüntü kümesi [2, ∞) aralığıdır. 8 − x² ifadesi logaritma tanımlıyken 0 ile 8 arasında, 8 dahil olmak üzere değer alır; log₂(8 − x²) fonksiyonunun görüntü kümesi (−∞, 3] olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = log₂(x − 1) + 3 olduğuna göre f⁻¹(5) kaçtır?
Çözüm. f⁻¹(5) = a ise f(a) = 5 olmalıdır: log₂(a − 1) + 3 = 5, yani log₂(a − 1) = 2 ve a − 1 = 4. Buradan a = 5 bulunur. Ters fonksiyonun kuralıyla da aynı sonuç çıkar: f⁻¹(x) = 2ˣ⁻³ + 1 ve f⁻¹(5) = 2² + 1 = 5.
Örnek 2. f(x) = log₂(−x² + 4x + 12) fonksiyonunun tanım kümesi ve en büyük değeri nedir?
Çözüm. −x² + 4x + 12 > 0 eşitsizliği x² − 4x − 12 < 0, yani (x − 6)(x + 2) < 0 biçimine gelir; tanım kümesi (−2, 6) olur. İçerideki ifade bir paraboldür ve en büyük değerini tepe noktasında, x = 2 için alır: −4 + 8 + 12 = 16. Taban 1'den büyük olduğu için logaritma artandır; fonksiyonun en büyük değeri log₂ 16 = 4 olur.
Örnek 3. a tabanında x + b sayısının logaritması olarak tanımlanan f fonksiyonunun grafiği (0, 1) ve (6, 2) noktalarından geçmektedir. Grafik x eksenini hangi noktada keser?
Çözüm. (0, 1) noktasından a¹ = 0 + b, yani b = a bulunur. (6, 2) noktasından a² = 6 + b = 6 + a, yani a² − a − 6 = 0 ve (a − 3)(a + 2) = 0 çıkar. Taban pozitif olduğundan a = 3 ve b = 3 olur. Fonksiyon f(x) = log₃(x + 3) biçimindedir; x eksenini kestiği noktada x + 3 = 1, yani x = −2 olur. Nokta (−2, 0) noktasıdır.
Sık yapılan hatalar
- Logaritma grafiğinin (0, 1) noktasından geçtiğini sanmak; o nokta üstel fonksiyona aittir, logaritma (1, 0) noktasından geçer.
- Ters fonksiyonu bulurken sabit terimi logaritmanın içine almak.
- Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmayı artan sanmak.
- En büyük değer sorusunda içerideki ifadenin en büyük değerini cevap olarak yazmak; istenen onun logaritmasıdır.
- y = logₐ x: tanım kümesi (0, ∞), görüntü kümesi gerçek sayılar; grafik (1, 0) noktasından geçer.
- y = aˣ ve y = logₐ x grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
- Ters için logaritmayı yalnız bırak ve üsse çevir.