Konu anlatımı
Üstel ve logaritmik eşitsizliklerde her şey tabana bağlıdır: taban 1'den büyükse fonksiyon artan, 0 ile 1 arasındaysa azalandır. Bu alt başlıkta bu iki durumu, logaritmik eşitsizliklerde tanım koşulunun rolünü ve tam sayı çözümlerini saymayı göreceksin.
Üstel eşitsizlikler
İki taraf aynı tabanda yazılır ve üsler karşılaştırılır. Taban 1'den büyükse üsler arasındaki eşitsizlik aynı yöndedir; taban 0 ile 1 arasındaysa yön değişir. 2 tabanında üsleri x² − 3 ve 2x olan iki kuvvet için birincinin ikinciden küçük olması, taban 1'den büyük olduğundan x² − 3 < 2x demektir; (x − 3)(x + 1) < 0 eşitsizliğinden −1 < x < 3 bulunur. (1/2)ˣ < 1/8 eşitsizliğinde ise taban 1/2 olduğu için yön değişir: (1/2)ˣ < (1/2)³ ve x > 3 olur. Yön değiştirmeyi unutmamak için kesirli taban 2⁻ˣ biçiminde de yazılabilir.
Logaritmik eşitsizlikler
Logaritmik eşitsizlikte iki iş birlikte yapılır: logaritması alınan ifadelerin pozitif olması sağlanır ve tabana göre eşitsizlik çözülür. Taban 1'den büyükse logₐ f(x) < c eşitsizliği 0 < f(x) < aᶜ demektir. Taban 0 ile 1 arasındaysa yön değişir ve logₐ f(x) < c eşitsizliği f(x) > aᶜ biçimine gelir. İki tarafta da logaritma varsa içerideki ifadeler karşılaştırılır ve küçük kalacak olanın pozitifliği ayrıca yazılır: log₂(x − 1) < log₂(7 − x) eşitsizliği 0 < x − 1 < 7 − x demektir ve çözümü 1 < x < 4 olur.
Sayıyı logaritma olarak yazmak
Sağ taraftaki sayı, soldaki logaritmanın tabanında bir logaritma olarak düşünülebilir: 3 = log₂ 8 ve −2 = log₃(1/9). Tabanı 1/2 olan logaritmada −3 sayısı, 1/2 tabanında 8 sayısının logaritmasıdır, çünkü (1/2)⁻³ = 8 olur. Böylece iki tarafta aynı tabanlı logaritmalar bulunur ve içleri karşılaştırılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. log₂(x − 3) ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Tanım koşulu x − 3 > 0 olmasıdır. Taban 2 olduğundan yön korunur: x − 3 ≤ 2³ = 8. İki koşul birlikte 0 < x − 3 ≤ 8, yani 3 < x ≤ 11 verir. Tam sayılar 4'ten 11'e kadardır; 8 tam sayı vardır.
Örnek 2. 1/2 tabanında x + 1 sayısının logaritması −3'ten büyük olduğuna göre x kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
Çözüm. Tanım koşulu x + 1 > 0 olmasıdır. Taban 1/2 olduğu için logaritma azalandır ve yön değişir: x + 1 < (1/2)⁻³ = 8. İki koşul birlikte 0 < x + 1 < 8, yani −1 < x < 7 verir. Tam sayılar 0'dan 6'ya kadardır; 7 tam sayı vardır. Yön değiştirilmeseydi x > 7 gibi yanlış bir sonuç çıkardı.
Örnek 3. (1/3)ˣ⁻² ≥ 27 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. 27 = (1/3)⁻³ yazılır: (1/3)ˣ⁻² ≥ (1/3)⁻³. Taban 0 ile 1 arasında olduğundan üsler arasındaki eşitsizliğin yönü değişir: x − 2 ≤ −3 ve x ≤ −1. Çözüm kümesi (−∞, −1] olur. Kontrol: x = −1 için (1/3)⁻³ = 27 değeri eşitliği sağlar.
Sık yapılan hatalar
- Logaritmik eşitsizlikte tanım koşulunu çözüme katmamak.
- Tabanı 0 ile 1 arasında olan eşitsizlikte yönü değiştirmemek.
- Taban 1'den büyükken gereksiz yere yön değiştirmek.
- log₂(x − 3) ≤ 3 eşitsizliğinden x − 3 ≤ 3 sonucunu çıkarmak; sağ taraf üsse çevrilir.
- Taban 1'den büyük: yön aynı kalır.
- Taban 0 ile 1 arasında: yön değişir.
- Logaritmik eşitsizlikte logaritması alınan ifade pozitif olmalıdır.