Konu anlatımı
Farklı tabanlı logaritmalar ancak ortak bir tabana getirilerek birlikte işleme girer. Bu alt başlıkta taban değiştirme formülünü, bu formülün kısa sonuçlarını, zincirleme çarpımları ve bir logaritmayı başka bir logaritma cinsinden yazmayı göreceksin.
Formül
a tabanında b sayısının logaritması, istenen herhangi bir c tabanında b sayısının logaritmasının a sayısının logaritmasına bölümüdür; c pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Onluk ve doğal logaritmayla yazılırsa logₐ b = log b/log a = ln b/ln a olur. Örneğin log₂ 7 = log 7/log 2 eşitliği, hesap makinesinde yalnızca onluk logaritma varken log₂ 7 değerini bulmayı sağlar.
Kısa sonuçlar
Formülden üç kullanışlı sonuç çıkar. Birincisi, taban ile sayı yer değiştirirse değer tersine döner: a tabanında b sayısının logaritması ile b tabanında a sayısının logaritmasının çarpımı 1'dir; örneğin log₂ 3 ile log₃ 2 birbirinin çarpmaya göre tersidir. İkincisi, tabandaki ve sayıdaki kuvvetler kesir olarak dışarı çıkar: tabanı aⁿ olan bᵐ sayısının logaritması (m/n)·logₐ b olur. Buna göre log₈ 32 = 5/3, çünkü 32 = 2⁵ ve 8 = 2³; log₄ 27 = (3/2)·log₂ 3 olur. Üçüncüsü, 4 üzeri log₂ 3 gibi ifadelerde taban ile logaritması alınan sayı yer değiştirebilir: sonuç 3 üzeri log₂ 4, yani 3² = 9 olur.
Zincirleme çarpım
Bir logaritmanın sayısı, sonrakinin tabanı olacak biçimde dizilmiş çarpımlarda aradaki sayılar sadeleşir: log₂ 3·log₃ 5·log₅ 8 çarpımı log₂ 8 = 3 eder. Bunu görmek için her terim onluk logaritmayla yazılır: (log 3/log 2)·(log 5/log 3)·(log 8/log 5) = log 8/log 2. Toplamı 1 olan terslere de dikkat et: 1/log₂ 6 + 1/log₃ 6 = log₆ 2 + log₆ 3 = log₆ 6 = 1.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. log₂ 3 = a olduğuna göre log₁₂ 18 ifadesinin a cinsinden değeri nedir?
Çözüm. İki sayı da 2 tabanına taşınır: log₁₂ 18 = log₂ 18/log₂ 12. 18 = 2·3² olduğundan log₂ 18 = 1 + 2a, 12 = 2²·3 olduğundan log₂ 12 = 2 + a bulunur. Sonuç (1 + 2a)/(2 + a) olur.
Örnek 2. log₈ 32 + log₉ 27 toplamı kaçtır?
Çözüm. log₈ 32 için iki sayı da 2 tabanında yazılır: 32 = 2⁵ ve 8 = 2³, sonuç 5/3 olur. log₉ 27 için 27 = 3³ ve 9 = 3², sonuç 3/2 olur. Toplam 5/3 + 3/2 = 10/6 + 9/6 = 19/6 bulunur.
Örnek 3. log₂ 3 = a olduğuna göre log₆ 24 ifadesinin a cinsinden değeri nedir?
Çözüm. log₆ 24 = log₂ 24/log₂ 6 yazılır. 24 = 2³·3 olduğundan log₂ 24 = 3 + a, 6 = 2·3 olduğundan log₂ 6 = 1 + a bulunur. Sonuç (3 + a)/(1 + a) olur. Kesri a ile sadeleştirmeye çalışmak yanlıştır; a pay ve paydada çarpan değil, toplanandır.
Sık yapılan hatalar
- Taban değiştirirken pay ile paydayı ters yazmak; paya logaritması alınan sayı, paydaya eski taban gelir.
- log b/log a oranını log(b/a) ya da log(b − a) sanmak.
- Tabandaki kuvveti üs gibi başa çarpan olarak indirmek; tabandaki kuvvet paydaya geçer.
- logₐ b = log b/log a.
- Taban ile sayı yer değiştirirse logaritma tersine döner.
- Tabanı aⁿ olan bᵐ sayısının logaritması (m/n)·logₐ b olur.