Konu anlatımı
Logaritma bir üs olduğu için üs kurallarının her birinin logaritmada bir karşılığı vardır. Bu alt başlıkta çarpım, bölüm ve kuvvet kurallarını, bu kurallarla ifadeleri açmayı ve toplamayı, bir logaritmayı verilen değerler cinsinden yazmayı göreceksin. Bütün kurallarda taban pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan sayılar pozitiftir.
Üç temel kural
Çarpımın logaritması logaritmaların toplamıdır: logₐ(x·y) = logₐ x + logₐ y. Bu, aynı tabanlı kuvvetler çarpılırken üslerin toplanmasının karşılığıdır. Bölümün logaritması logaritmaların farkıdır: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y. Kuvvetin logaritmasında üs başa çarpan olarak iner: logₐ(xⁿ) = n·logₐ x. Kök de bir kuvvet olduğundan logₐ √x = (1/2)·logₐ x olur.
Kurallar iki yönde de kullanılır. Açarken log₃ 54 − log₃ 2 = log₃ 27 = 3 ve log₂ 8⁵ = 5·log₂ 8 = 15 bulunur. Toplarken log 5 + log 2 = log 10 = 1 olur.
Verilen değerler cinsinden yazmak
log 2 = a ve log 3 = b verilmişse 2 ve 3 çarpanlarından oluşan her sayının onluk logaritması a ve b cinsinden yazılır. 72 = 2³·3² olduğundan log 72 = 3a + 2b olur. 5 sayısı için 5 = 10/2 yazılır: log 5 = 1 − a. Buna göre log 15 = log 3 + log 5 = b + 1 − a ve log 45 = 2b + 1 − a bulunur. Sayıyı asal çarpanlarına ayırmak ve 5 gördüğünde 10/2 yazmak bu soruların anahtarıdır.
Üs ile logaritma
Bir sayının, kendi tabanındaki logaritma kadar kuvveti alınırsa logaritması alınan sayı elde edilir: 2 üzeri log₂ 5 ifadesi 5'e eşittir. Taban doğrudan aynı değilse önce aynı yapılır: 9 üzeri log₃ 2 ifadesinde 9 = 3² yazılır; üs 2·log₃ 2 = log₃ 4 olur ve sonuç 4 bulunur. Tersinden, logₐ(aⁿ) = n olur; bu, tanımın kendisidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. log₂ 12 + log₂ 6 − log₂ 9 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Toplam çarpıma, fark bölüme dönüşür: log₂(12·6/9) = log₂ 8 = 3. Terimleri tek tek hesaplamaya çalışmak gereksizdir; önce tek logaritmaya indirmek gerekir.
Örnek 2. log 2 = a ve log 3 = b olduğuna göre log 72 ve log 15 ifadelerinin a ve b cinsinden değerleri nedir?
Çözüm. 72 = 8·9 = 2³·3² olduğundan log 72 = 3·log 2 + 2·log 3 = 3a + 2b olur. 15 = 3·5 ve 5 = 10/2 olduğundan log 15 = log 3 + log 10 − log 2 = b + 1 − a bulunur.
Örnek 3. log₃ x = 2 ve log₃ y = −1 olduğuna göre log₃(x²/y) kaçtır?
Çözüm. Kurallar uygulanır: log₃(x²/y) = 2·log₃ x − log₃ y = 2·2 − (−1) = 5. Kontrol: x = 9 ve y = 1/3 için x²/y = 81·3 = 243 = 3⁵ olur.
Sık yapılan hatalar
- log(x + y) = log x + log y yazmak; örneğin log 5 yaklaşık 0,699 iken log 2 + log 3 = log 6 yaklaşık 0,778 eder.
- (log x)² ile log x² ifadelerini aynı saymak; ilki logaritmanın karesi, ikincisi 2·log x değeridir.
- log x/log y oranını log(x/y) sanmak.
- logₐ(x²) = 2·logₐ x yazarken x sayısının pozitif olması gerektiğini unutmak.
- Çarpım toplama, bölüm çıkarmaya, kuvvet çarpana dönüşür.
- log 5 = 1 − log 2.
- a üzeri logₐ x ifadesi x sayısına eşittir.