Konu anlatımı
Belirli integralin üst sınırı sabit bir sayı yerine x olursa integral artık bir sayı değil, x değişkenine bağlı bir fonksiyon olur. Bu alt başlıkta böyle bir fonksiyonun türevini, sınırda x yerine başka bir ifade bulunduğu durumu ve bir integral eşitliğinden fonksiyonun kendisini bulmayı göreceksin.
Temel sonuç
f sürekli bir fonksiyon ve a bir sabit olmak üzere F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt olsun. G, f fonksiyonunun bir ters türevi ise F(x) = G(x) − G(a) olur; G(a) sabit olduğundan türev alınınca F′(x) = G′(x) = f(x) bulunur. Yani türev, integrandda t yerine x yazılarak elde edilir ve integrali hesaplamaya gerek kalmaz. F(x) = ∫₁ˣ (t² + 3t) dt için F′(x) = x² + 3x olur. Ayrıca F(a) = 0 olduğu unutulmamalıdır, çünkü sınırlar eşittir.
Sınırda bir ifade varsa
Üst sınır g(x) ise fonksiyon G(g(x)) − G(a) biçimindedir ve zincir kuralıyla türevi f(g(x))·g′(x) olur. 2t + 1 fonksiyonunun 0'dan x² sayısına kadar integrali olan fonksiyonun türevi (2x² + 1)·2x = 4x³ + 2x bulunur. Değişken alt sınırdaysa sınırlar yer değiştirilir ve işaret eksi olur: ∫ₓ³ (t² + 1) dt fonksiyonunun türevi −(x² + 1) olur. İki sınır da değişkense iki katkı ayrı ayrı yazılır: üst sınırdan gelen artı, alt sınırdan gelen eksi işaretlidir.
İntegral eşitliğinden fonksiyon bulmak
∫ₐˣ f(t) dt ifadesi x değişkenine bağlı bir kurala eşitlenmişse iki tarafın türevi alınarak f(x) bulunur. Ayrıca x = a yazıldığında sol taraf sıfır olacağından sağ tarafın a noktasındaki değeri de sıfır olmalıdır; bu koşul a sabitini ya da kuraldaki bir bilinmeyeni verir. Bu fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar ve ekstremumları da türevi, yani integrandı incelenerek bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. F(x) = ∫₁ˣ (t² + 3t) dt olduğuna göre F′(2) ve F(1) kaçtır?
Çözüm. Türev, integrandda t yerine x yazılarak bulunur: F′(x) = x² + 3x ve F′(2) = 4 + 6 = 10. F(1) değerinde alt ve üst sınır eşit olduğundan integral sıfırdır: F(1) = 0.
Örnek 2. Her x gerçek sayısı için ∫ₐˣ f(t) dt = x² − 9 eşitliği sağlanıyor. a pozitif olduğuna göre a ve f(5) kaçtır?
Çözüm. İki tarafın türevi alınır: f(x) = 2x, buradan f(5) = 10. x = a yazılınca sol taraf sıfır olur: a² − 9 = 0 ve a pozitif olduğundan a = 3 bulunur.
Örnek 3. F(x) = ∫₂ˣ (t² − 4) dt fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri nelerdir?
Çözüm. F′(x) = x² − 4 = (x − 2)(x + 2) olur; kritik noktalar −2 ve 2'dir. Türev x < −2 için pozitif, −2 ile 2 arasında negatif, x > 2 için pozitiftir. x = −2 noktasında yerel maksimum, x = 2 noktasında yerel minimum vardır. Yerel minimum değeri F(2) = 0 olur, çünkü sınırlar eşittir.
Sık yapılan hatalar
- Türev alırken integrali önce hesaplamaya çalışıp zaman kaybetmek.
- Üst sınır g(x) iken g′(x) ile çarpmayı unutmak.
- Değişken alt sınırdayken eksi işaretini yazmamak.
- F(a) değerinin sıfır olduğunu kullanmamak.
- F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ise F′(x) = f(x) ve F(a) = 0.
- Üst sınır g(x) ise türev f(g(x))·g′(x) olur.
- Değişken alt sınırdaysa türevin işareti eksidir.