Konu anlatımı
Türev alma işleminin tersine integral alma denir. Bu alt başlıkta ters türevi ve integral sabitini, kuvvet kuralını, sabit çarpan ile toplam ve fark kurallarını, ifadeyi integrale hazırlamayı ve bir koşul verildiğinde sabiti belirlemeyi göreceksin.
Ters türev ve integral sabiti
F′(x) = f(x) ise F, f fonksiyonunun bir ters türevidir. x³ ifadesinin bir ters türevi x⁴/4 olur; ama x⁴/4 + 1 ve x⁴/4 − 7 de aynı türeve sahiptir. Bu yüzden ters türevlerin hepsi birden yazılır: ∫ x³ dx = x⁴/4 + c. İntegral işaretinin içindeki fonksiyona integrand, dx ifadesindeki x değişkenine integral değişkeni denir. Türev ve integral birbirini geri alır: bir integralin türevi integrandın kendisidir ve ∫ f′(x) dx = f(x) + c olur.
Kuvvet kuralı
n ≠ −1 olmak üzere ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c olur. ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + c ve sabit bir k sayısı için ∫ k dx = kx + c bulunur. Köklü ve kesirli ifadeler önce üs biçiminde yazılır: 1/√x ifadesi x üzeri −1/2 olduğundan integrali 2√x + c, 1/x³ = x⁻³ olduğundan integrali −1/(2x²) + c, ∛x ifadesi x üzeri 1/3 olduğundan integrali (3/4)·x üzeri 4/3 + c olur. n = −1 durumu, yani 1/x ifadesinin integrali bu kuralın dışındadır ve lise programında yer almaz.
Toplam, fark ve hazırlık
Sabit çarpan integralin dışına alınır; toplamın ve farkın integrali terim terim hesaplanır. Çarpım ve bölüm için böyle bir kural yoktur; bu yüzden çarpımlar önce açılır, paydası tek terim olan kesirler terimlere ayrılır. (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2 olduğundan integrali x³/3 − x²/2 − 2x + c olur. (x³ + 2x)/x = x² + 2 olduğundan integrali x³/3 + 2x + c bulunur.
Sabitin belirlenmesi
Belirsiz integral sonsuz sayıda fonksiyon verir; bunlardan biri, fonksiyonun bir noktadaki değeri bilindiğinde seçilir. Bir eğrinin her noktasındaki teğetinin eğimi 4x − 3 ise eğrinin denklemi y = 2x² − 3x + c biçimindedir; eğri (1, 2) noktasından geçiyorsa 2 − 3 + c = 2 eşitliğinden c = 3 bulunur ve denklem y = 2x² − 3x + 3 olur. Hız fonksiyonundan konumu bulmak da aynı işlemdir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ∫ (4x³ − 6x + 2) dx integrali nedir?
Çözüm. Her terimin integrali ayrı alınır: 4·x⁴/4 − 6·x²/2 + 2x + c = x⁴ − 3x² + 2x + c. Kontrol için türev alınır: 4x³ − 6x + 2 ifadesi yeniden elde edilir.
Örnek 2. ∫ (√x + 1/x²) dx integrali nedir?
Çözüm. Terimler üs biçiminde yazılır: x üzeri 1/2 ve x⁻². Birincinin integrali (x üzeri 3/2)/(3/2) = (2/3)·x√x, ikincinin integrali x⁻¹/(−1) = −1/x olur. Sonuç (2/3)·x√x − 1/x + c bulunur.
Örnek 3. f′(x) = 6x² − 2x + 1 ve f(1) = 4 olduğuna göre f(2) kaçtır?
Çözüm. f(x) = 2x³ − x² + x + c olur. f(1) = 2 − 1 + 1 + c = 2 + c ve bu değer 4 olduğundan c = 2 bulunur. f(2) = 16 − 4 + 2 + 2 = 16 çıkar. Sabiti bulmadan f(2) hesaplanırsa 14 gibi eksik bir sonuç elde edilir.
Sık yapılan hatalar
- İntegral sabitini unutmak.
- ∫ xⁿ dx için xⁿ⁺¹/n yazmak; payda yeni üs olan n + 1 sayısıdır.
- Çarpımı açmadan çarpanların integrallerini çarpmak.
- Koşul verildiği hâlde sabiti belirlemeden değer hesaplamak.
- F′ = f ise ∫ f(x) dx = F(x) + c.
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c, n ≠ −1.
- Önce ifadeyi kuvvetlerin toplamı biçimine getir, sonra terim terim integral al.