Konu anlatımı
Belirli integral, Riemann toplamlarının yaklaştığı değerdir; ama onu hesaplamak için toplam kurmak gerekmez. Bu alt başlıkta belirli integralin ters türevle hesaplanmasını, işaretli alan yorumunu, sınırında bilinmeyen bulunan soruları ve belirli integralin bir sabit sayı olmasından yararlanan soruları göreceksin.
Hesaplama kuralı
f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve F′(x) = f(x) ise ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) olur. a sayısına alt sınır, b sayısına üst sınır denir. Ters türevin hangisinin seçildiği önemli değildir; integral sabiti farkta sadeleşir. Hesap üç adımdır: ters türev bulunur, üst sınır yerine yazılır, alt sınır yerine yazılıp çıkarılır. ∫₀² (3x² + 2x) dx integralinde F(x) = x³ + x² alınır ve F(2) − F(0) = 12 − 0 = 12 bulunur.
İşaretli alan
Fonksiyon bir aralıkta negatif değerler alıyorsa o aralıktaki integral negatiftir. Bu yüzden belirli integral, eksenin üstündeki alanlardan altındaki alanların çıkarılmasıyla elde edilen sayıdır. ∫₀³ (x² − 2x) dx integrali sıfırdır: fonksiyon [0, 2] aralığında eksenin altındadır ve bu parçanın integrali −4/3, [2, 3] aralığında eksenin üstündedir ve integrali 4/3 olur. İntegralin sıfır çıkması, alanın sıfır olduğu anlamına gelmez.
Belirli integral bir sayıdır
Sınırları sabit olan bir integral, x değişkenine bağlı değildir; integral değişkeninin adı da sonucu değiştirmez. Bu yüzden bir eşitlikte ∫₀¹ f(t) dt gibi bir ifade varsa ona bir harf verilebilir. f(x) = 4x + 2·∫₀¹ f(t) dt eşitliğinde integrale k denirse f(x) = 4x + 2k olur. k = ∫₀¹ (4t + 2k) dt = 2 + 2k eşitliğinden k = −2 bulunur; fonksiyon f(x) = 4x − 4 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ∫₋₁² (x³ − 2x) dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. Ters türev F(x) = x⁴/4 − x² olur. F(2) = 4 − 4 = 0 ve F(−1) = 1/4 − 1 = −3/4 bulunur. İntegral 0 − (−3/4) = 3/4 olur. Alt sınır negatif olduğunda çıkarma işlemindeki işarete dikkat edilmelidir.
Örnek 2. a pozitif bir sayı olmak üzere ∫₀ᵃ (2x + 1) dx = 12 olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm. Ters türev x² + x olur; integral a² + a − 0 = a² + a bulunur. a² + a = 12 eşitliği a² + a − 12 = 0, yani (a + 4)(a − 3) = 0 verir. a pozitif olduğundan a = 3 alınır.
Örnek 3. ∫₁⁴ (√x + 1/√x) dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. √x ifadesinin ters türevi (2/3)·x√x, 1/√x ifadesinin ters türevi 2√x olur. F(x) = (2/3)·x√x + 2√x için F(4) = 16/3 + 4 = 28/3 ve F(1) = 2/3 + 2 = 8/3 bulunur. İntegral 28/3 − 8/3 = 20/3 olur.
Sık yapılan hatalar
- F(a) − F(b) hesaplamak.
- Belirli integralin sonucuna integral sabiti eklemek.
- İntegralin sıfır çıkmasını alanın sıfır olması diye yorumlamak.
- Negatif alt sınırda işaret hatası yapmak.
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
- Belirli integral işaretli alandır ve bir sayıdır.
- Sınırları sabit olan integrale bir harf verilebilir.