Konu anlatımı
Belirli integralin en önemli uygulaması alan hesabıdır. Bu alt başlıkta bir eğri ile x ekseni arasındaki alanı, eksenin altında kalan bölgelerde işaretin nasıl düzeltildiğini, iki eğri arasındaki alanı ve grafikte alanları verilen bölgelerden integral değerlerini bulmayı göreceksin.
Eğri ile x ekseni arasındaki alan
f fonksiyonu [a, b] aralığında negatif değer almıyorsa grafik, x ekseni ve x = a, x = b doğruları arasındaki alan ∫ₐᵇ f(x) dx olur. y = x² + 1 eğrisi, x ekseni, x = 0 ve x = 3 doğruları arasındaki alan ∫₀³ (x² + 1) dx = 9 + 3 = 12 birimkaredir. Fonksiyon aralıkta pozitif değer almıyorsa integral negatif çıkar ve alan onun mutlak değeridir: y = x² − 4 parabolü ile x ekseni arasındaki alan, ∫₋₂² (x² − 4) dx = −32/3 olduğundan 32/3 birimkaredir.
Grafik aralığın içinde ekseni kesiyorsa aralık köklerden bölünür, her parçanın alanı ayrı bulunur ve toplanır. Doğrudan integral almak, üstteki ve alttaki bölgelerin farkını verir; alanı vermez.
İki eğri arasındaki alan
f ve g fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan bölgenin alanı için önce f(x) = g(x) denklemi çözülerek kesişim noktalarının apsisleri bulunur. Bu noktalar arasında hangi grafiğin üstte olduğu bir ara değer denenerek belirlenir. Alan, üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılarak elde edilen farkın integralidir. Bölgenin x ekseninin altında ya da üstünde olması sonucu değiştirmez; yalnızca hangi grafiğin üstte olduğu önemlidir. Grafikler ikiden çok noktada kesişiyorsa üstte olan fonksiyon değişir ve her aralık ayrı hesaplanır.
Grafikte verilen alanlar
Bazı sorularda fonksiyonun kuralı verilmez; grafiğin eksenle sınırladığı bölgelerin alanları verilir. Eksenin üstündeki bölgenin alanı integrale artı, altındaki bölgenin alanı eksi işaretle girer. f fonksiyonunun grafiği [−2, 1] aralığında eksenin üstünde ve bu bölgenin alanı 5, [1, 4] aralığında eksenin altında ve bu bölgenin alanı 3 ise ∫₋₂¹ f(x) dx = 5, ∫₁⁴ f(x) dx = −3 ve ∫₋₂⁴ f(x) dx = 2 olur. Mutlak değerli integral ise alanların toplamıdır: ∫₋₂⁴ |f(x)| dx = 8.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. y = x² − 2x parabolü ile x ekseni arasında, x = 0 ve x = 3 doğruları arasında kalan bölgelerin toplam alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. Parabol x eksenini 0 ve 2 apsisli noktalarda keser. [0, 2] aralığında eksenin altındadır: ∫₀² (x² − 2x) dx = 8/3 − 4 = −4/3 ve alan 4/3 olur. [2, 3] aralığında eksenin üstündedir: ∫₂³ (x² − 2x) dx = (9 − 9) − (8/3 − 4) = 4/3. Toplam alan 4/3 + 4/3 = 8/3 birimkaredir. Bölmeden hesaplanan ∫₀³ (x² − 2x) dx integrali sıfır çıkar ve alanı vermez.
Örnek 2. y = 6x − x² ve y = x² − 2x parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. 6x − x² = x² − 2x eşitliğinden 2x² − 8x = 0 ve x = 0 ya da x = 4 bulunur. Aradaki x = 1 değeri için birinci parabol 5, ikincisi −1 değerini alır; birinci parabol üsttedir. Fark (6x − x²) − (x² − 2x) = 8x − 2x² olur. Alan ∫₀⁴ (8x − 2x²) dx integralidir; ters türev 4x² − 2x³/3 olur ve 64 − 128/3 = 64/3 bulunur.
Örnek 3. y = x³ eğrisi ile y = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin toplam alanı kaç birimkaredir?
Çözüm. x³ = 4x eşitliğinden x(x − 2)(x + 2) = 0 ve x = −2, 0, 2 bulunur. [0, 2] aralığında doğru üsttedir: ∫₀² (4x − x³) dx = 8 − 4 = 4. [−2, 0] aralığında eğri üsttedir ve simetri nedeniyle bu bölgenin alanı da 4 olur. Toplam alan 8 birimkaredir. ∫₋₂² (4x − x³) dx integrali doğrudan alınırsa tek fonksiyon olduğu için sıfır çıkar; bu yüzden aralık bölünmelidir.
Sık yapılan hatalar
- Eksenin altındaki bölgenin integralini negatif bırakıp alan diye toplamak.
- Grafiğin ekseni kestiği noktadan aralığı bölmemek.
- İki eğri arasındaki alanda alttaki fonksiyondan üsttekini çıkarmak.
- Kesişim noktalarını bulmadan verilen ya da tahmin edilen sınırlarla integral almak.
- Alan negatif olamaz; eksenin altındaki parçanın integralinin mutlak değeri alınır.
- İki eğri arasındaki alan: kesişim noktaları arasında üstteki eksi alttaki fonksiyonun integrali.
- Verilen alanlar integrale üstte artı, altta eksi işaretle girer.