Konu anlatımı
Mutlak değerli bir ifadenin doğrudan bir ters türevi yazılmaz; önce mutlak değerden kurtulmak gerekir. Bu alt başlıkta integrali, mutlak değerin içinin işaret değiştirdiği noktalardan bölmeyi, her parçada doğru işareti kullanmayı ve bu integralin alanla ilişkisini göreceksin.
Aralığı işarete göre bölmek
|g(x)| ifadesi, g(x) ≥ 0 olan yerlerde g(x), g(x) < 0 olan yerlerde −g(x) demektir. Bu yüzden önce g(x) = 0 denkleminin integral aralığındaki kökleri bulunur ve aralık bu köklerden bölünür. Her parçada g fonksiyonunun işareti belirlenir: pozitifse mutlak değer doğrudan kaldırılır, negatifse eksi ile çarpılarak kaldırılır. ∫₀³ |x − 1| dx integralinde kök 1 olur; [0, 1] aralığında ifade 1 − x, [1, 3] aralığında x − 1 biçimindedir. İntegral ∫₀¹ (1 − x) dx + ∫₁³ (x − 1) dx = 1/2 + 2 = 5/2 bulunur.
İkinci dereceden ifadeler
İçeride ikinci dereceden bir ifade varsa kökler ve baş katsayı işareti belirler: baş katsayı pozitifse ifade köklerin arasında negatiftir. ∫₀³ |x² − 4| dx integralinde kökler −2 ve 2 olur; integral aralığında yalnızca 2 vardır. [0, 2] aralığında x² − 4 negatif olduğundan mutlak değer 4 − x² olur ve ∫₀² (4 − x²) dx = 16/3 bulunur. [2, 3] aralığında ifade pozitiftir ve ∫₂³ (x² − 4) dx = 7/3 olur. Toplam 16/3 + 7/3 = 23/3 çıkar.
Alanla ilişkisi
|f(x)| ifadesinin integrali, f fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında kalan bölgelerin alanları toplamıdır; f fonksiyonunun kendi integrali ise bu alanların işaretli toplamıdır. Aynı örnekte ∫₀³ (x² − 4) dx = −3 olurken mutlak değerli integral 23/3 değerini verir. Doğrusal ifadelerin mutlak değerinde grafik üçgenlerden oluşur ve integral üçgen alanlarıyla da bulunabilir: ∫₀⁴ |x − 3| dx integrali, alanları 9/2 ve 1/2 olan iki dik üçgenin toplamı olan 5 değerine eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ∫₋₁³ |2x − 2| dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. 2x − 2 ifadesinin kökü 1 olur. [−1, 1] aralığında ifade negatiftir: ∫₋₁¹ (2 − 2x) dx integralinde ters türev 2x − x² olur ve 1 − (−3) = 4 bulunur. [1, 3] aralığında ifade pozitiftir: ∫₁³ (2x − 2) dx integralinde ters türev x² − 2x olur ve 3 − (−1) = 4 bulunur. Toplam 8 çıkar.
Örnek 2. ∫₋₁² |x| dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. Kök 0 olur. [−1, 0] aralığında |x| = −x ve integral 1/2, [0, 2] aralığında |x| = x ve integral 2 olur. Toplam 5/2 bulunur. Mutlak değeri yok sayıp ∫₋₁² x dx hesaplanırsa 3/2 bulunur; aradaki fark, eksenin altındaki üçgenin iki kez sayılmasından gelir.
Örnek 3. f fonksiyonu için ∫₀² f(x) dx = −4 ve ∫₂⁵ f(x) dx = 9 değerleri veriliyor. f fonksiyonu [0, 2] aralığında negatif, [2, 5] aralığında pozitif değerler aldığına göre ∫₀⁵ |f(x)| dx kaçtır?
Çözüm. [0, 2] aralığında |f(x)| = −f(x) olduğundan bu parçanın integrali −(−4) = 4 olur. [2, 5] aralığında |f(x)| = f(x) olduğundan integral 9 olur. Toplam 4 + 9 = 13 bulunur. Mutlak değersiz integral ise −4 + 9 = 5 olurdu.
Sık yapılan hatalar
- Mutlak değeri yok sayıp doğrudan integral almak.
- Aralığı kökten bölmeden mutlak değeri tek işaretle kaldırmak.
- Aralığın dışında kalan kökten de bölmeye çalışmak.
- Negatif parçada eksi ile çarpmayı unutmak.
- Önce içerideki ifadenin aralıktaki köklerini bul, aralığı böl.
- Negatif olduğu parçada ifadeyi eksi ile çarp.
- |f| fonksiyonunun integrali alanların toplamı, f fonksiyonunun integrali işaretli toplamdır.