Konu anlatımı
Bileşke biçimindeki ifadelerin integrali kuvvet kuralıyla doğrudan alınamaz. Bu alt başlıkta iç fonksiyona yeni bir değişken vererek integrali basitleştirmeyi, eksik sabit çarpanı tamamlamayı ve belirli integralde sınırların nasıl değiştiğini göreceksin.
Yöntem
Zincir kuralına göre F(g(x)) ifadesinin türevi F′(g(x))·g′(x) olur. Tersinden okunursa, integrandda bir iç fonksiyon ile onun türevi çarpım hâlinde bulunuyorsa integral kolayca alınır. u = g(x) denir; iki tarafın türevi alınarak du = g′(x) dx yazılır. İntegral yalnızca u değişkenini içerecek biçimde yeniden yazılır, hesaplanır ve en sonda u yerine g(x) konur. ∫ x·√(x² + 4) dx integralinde u = x² + 4 ve du = 2x dx olur; x dx = du/2 olduğundan integral (1/2)·∫ √u du = (1/3)·u√u + c, yani (1/3)·(x² + 4)·√(x² + 4) + c bulunur.
Sabit çarpanı tamamlamak
İç fonksiyonun türevi integrandda sabit bir çarpan farkıyla bulunuyorsa bu çarpan du ifadesinden çekilir. (ax + b)ⁿ biçimindeki ifadelerde u = ax + b ve dx = du/a olur; sonuç, kuvvet kuralının verdiği ifadenin a sayısına bölünmüşüdür. ∫ (3x + 1)⁴ dx = (3x + 1)⁵/15 + c ve ∫ (2x − 5)³ dx = (2x − 5)⁴/8 + c olur. Eksik olan yalnızca sabit bir çarpansa bu yol işler; eksik olan x içeren bir çarpansa değişken değiştirme o ifadeye bu biçimde uygulanamaz.
Belirli integralde sınırlar
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde sınırlar da yeni değişkene çevrilir: alt ve üst sınır u = g(x) kuralında yerine yazılır ve sonuçta x değişkenine geri dönülmez. Fonksiyonun kuralı bilinmeden de bu yapılabilir. ∫₁³ f(2x + 1) dx integralinde u = 2x + 1 ve dx = du/2 olur; x = 1 için u = 3, x = 3 için u = 7 bulunur. İntegral, f fonksiyonunun 3'ten 7'ye integralinin yarısına eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ∫ x²/(x³ + 1)² dx integrali nedir?
Çözüm. u = x³ + 1 denirse du = 3x² dx, yani x² dx = du/3 olur. İntegral (1/3)·∫ u⁻² du = (1/3)·(−u⁻¹) + c biçimine gelir. u yerine x³ + 1 yazılınca sonuç −1/(3(x³ + 1)) + c bulunur.
Örnek 2. ∫₃⁷ f(x) dx = 10 olduğuna göre ∫₁³ f(2x + 1) dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. u = 2x + 1 dönüşümüyle dx = du/2 olur ve sınırlar 3 ile 7 olarak değişir. İntegral (1/2)·∫₃⁷ f(u) du = (1/2)·10 = 5 bulunur. Değişkenin adı sonucu etkilemez; f fonksiyonunun 3'ten 7'ye integrali hangi harfle yazılırsa yazılsın 10'dur.
Örnek 3. ∫₀² x·(x² + 1)³ dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. u = x² + 1 denirse du = 2x dx ve x dx = du/2 olur. Sınırlar x = 0 için u = 1, x = 2 için u = 5 olarak değişir. İntegral (1/2)·∫₁⁵ u³ du = (1/2)·(5⁴ − 1⁴)/4 = (1/8)·624 = 78 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- du ifadesindeki sabit çarpanı hesaba katmamak.
- Belirli integralde sınırları değiştirmeden u değişkeniyle hesap yapmak.
- Sonuçta u değişkenini x cinsinden geri yazmayı unutmak.
- (ax + b)ⁿ ifadesinin integralinde a sayısına bölmeyi unutmak.
- u = g(x) ise du = g′(x) dx.
- ∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹/(a·(n + 1)) + c, n ≠ −1.
- Belirli integralde sınırları da u değişkenine çevir.