Konu anlatımı
Kenarları doğru olmayan bir bölgenin alanı hazır formüllerle bulunamaz. Bu alt başlıkta böyle bir alanı dikdörtgenlerle yaklaşık hesaplamayı, sol ve sağ uç toplamlarını, alt ve üst toplamı ve bu toplamların belirli integralle ilişkisini göreceksin.
Aralığı bölmek
f fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında, x = a ve x = b doğrularıyla sınırlanan bölgenin alanı aransın. [a, b] aralığı n eş parçaya bölünür; her parçanın genişliği Δx = (b − a)/n olur. Her parçanın üzerine, yüksekliği fonksiyonun o parçadaki bir noktada aldığı değer olan bir dikdörtgen çizilir. Dikdörtgenlerin alanları toplamına Riemann toplamı denir ve bu toplam aranan alanın yaklaşık değeridir.
Sol ve sağ uç toplamları
Yükseklik her parçanın sol ucundaki değerden alınırsa sol uç toplamı, sağ ucundaki değerden alınırsa sağ uç toplamı elde edilir. f(x) = x² fonksiyonu için [0, 2] aralığı 4 eş parçaya bölünürse Δx = 1/2 olur. Sağ uçlar 1/2, 1, 3/2 ve 2 değerleridir: toplam (1/2)·(1/4 + 1 + 9/4 + 4) = 15/4. Sol uçlar 0, 1/2, 1 ve 3/2 değerleridir: toplam (1/2)·(0 + 1/4 + 1 + 9/4) = 7/4. Gerçek alan ∫₀² x² dx = 8/3 değeridir ve bu iki toplamın arasındadır.
Alt toplam, üst toplam ve integral
Her parçada fonksiyonun en küçük değeri yükseklik alınırsa alt toplam, en büyük değeri alınırsa üst toplam bulunur; gerçek alan bu ikisinin arasındadır. Artan bir fonksiyonda sol uç toplamı alt toplam, sağ uç toplamı üst toplamdır; azalan bir fonksiyonda durum tersine döner. Parça sayısı artırıldıkça alt ve üst toplamlar birbirine ve gerçek alana yaklaşır: aynı örnekte 8 parça için sol uç toplamı 35/16, sağ uç toplamı 51/16 olur. Belirli integral, parça sayısı sınırsız artarken bu toplamların yaklaştığı değerdir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında, [0, 3] aralığında kalan alan 3 eş parçayla yaklaşık hesaplanıyor. Sol uç ve sağ uç toplamları kaçtır? Gerçek alan kaçtır?
Çözüm. Δx = 1 olur. Sol uçlar 0, 1 ve 2 değerleridir: f(0) + f(1) + f(2) = 1 + 3 + 5 = 9. Sağ uçlar 1, 2 ve 3 değerleridir: 3 + 5 + 7 = 15. Gerçek alan ∫₀³ (2x + 1) dx = 9 + 3 = 12 olur. Fonksiyon doğrusal olduğu için gerçek alan iki toplamın tam ortasındadır.
Örnek 2. f(x) = x² + 1 fonksiyonu için [1, 3] aralığı 4 eş parçaya bölünerek sol uç toplamı hesaplanıyor. Bu toplam kaçtır?
Çözüm. Δx = (3 − 1)/4 = 1/2 olur. Sol uçlar 1, 3/2, 2 ve 5/2 değerleridir; fonksiyonun bu noktalardaki değerleri 2, 13/4, 5 ve 29/4 olur. Toplam (1/2)·(2 + 13/4 + 5 + 29/4) = (1/2)·(35/2) = 35/4 bulunur. Fonksiyon artan olduğu için bu bir alt toplamdır; gerçek alan 32/3 değeridir ve daha büyüktür.
Örnek 3. f(x) = 4 − x² fonksiyonu için [0, 2] aralığı 2 eş parçaya bölünüyor. Alt toplam ve üst toplam kaçtır?
Çözüm. Δx = 1 olur ve fonksiyon bu aralıkta azalandır; her parçada en büyük değer sol uçta, en küçük değer sağ uçtadır. Üst toplam f(0) + f(1) = 4 + 3 = 7, alt toplam f(1) + f(2) = 3 + 0 = 3 olur. Gerçek alan ∫₀² (4 − x²) dx = 16/3 değeridir ve 3 ile 7 arasındadır.
Sık yapılan hatalar
- Δx ile çarpmayı unutup yalnızca fonksiyon değerlerini toplamak.
- Sol uç toplamında son noktayı, sağ uç toplamında ilk noktayı da almak; n parça için n değer toplanır.
- Azalan fonksiyonda da sol uç toplamını alt toplam sanmak.
- Riemann toplamını kesin alan olarak yorumlamak.
- Δx = (b − a)/n.
- Riemann toplamı: dikdörtgen yükseklikleri toplamı çarpı Δx.
- Artan fonksiyonda sol uç toplamı alt, sağ uç toplamı üst toplamdır.