Konu anlatımı
Fonksiyonun simetrisi ya da tekrarlanma özelliği biliniyorsa bazı integraller neredeyse hiç hesap yapmadan bulunur. Bu alt başlıkta sıfıra göre simetrik aralıklarda tek ve çift fonksiyonların integralini ve periyodik fonksiyonların bir periyotluk integralini kullanmayı göreceksin.
Tek fonksiyonlar
f tek ve sürekli bir fonksiyonsa grafiği orijine göre simetriktir; [−a, 0] aralığındaki bölge ile [0, a] aralığındaki bölge eş alanlıdır ama eksenin ters yanlarındadır. İşaretli alanlar birbirini götürür ve ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0 olur. Polinomlarda tek dereceli terimler tek fonksiyondur; bu yüzden simetrik aralıkta integral alınırken bu terimler doğrudan atılabilir. ∫₋₃³ (x⁵ − x³) dx = 0 olur.
Çift fonksiyonlar
f çift ve sürekli bir fonksiyonsa grafiği y eksenine göre simetriktir; eksenin solunda ve sağında kalan bölgeler eş ve aynı işaretlidir. Bu yüzden ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2·∫₀ᵃ f(x) dx olur. Alt sınırın sıfır olması hesabı kısaltır. ∫₋₁¹ (x⁴ + 1) dx = 2·∫₀¹ (x⁴ + 1) dx = 2·(1/5 + 1) = 12/5 bulunur. Bir polinom tek ve çift dereceli terimlerine ayrılarak iki kural birlikte kullanılır.
Periyodik fonksiyonlar
Periyodu T olan sürekli bir fonksiyonun grafiği T birimde bir tekrarlanır. Bu yüzden uzunluğu T olan her aralıkta integral aynıdır; aralığın nereden başladığı önemli değildir. Uzunluğu periyodun tam katı olan bir aralıktaki integral, bir periyotluk integralin o kat kadarıdır. Periyodu 4 olan bir fonksiyonda ∫₀⁴ f(x) dx = 6 ise ∫₃⁷ f(x) dx = 6 ve ∫₀¹² f(x) dx = 18 olur. Aralık tam katlara artı bir parçaya ayrılıyorsa parça ayrıca hesaplanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ∫₋₂² (x³ − 4x + 3) dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. x³ − 4x ifadesi tek fonksiyondur ve simetrik aralıktaki integrali sıfırdır. Geriye sabit 3 sayısının integrali kalır: 3·(2 − (−2)) = 12. Bütün terimlerin ters türevini alıp sınırları yazmak aynı sonucu verir ama çok daha uzundur.
Örnek 2. ∫₋₁¹ (5x⁴ + 7x³ − 3x² + 2x + 1) dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. 7x³ ve 2x terimleri tektir ve katkıları sıfırdır. Kalan 5x⁴ − 3x² + 1 ifadesi çifttir: integral 2·∫₀¹ (5x⁴ − 3x² + 1) dx olur. Ters türev x⁵ − x³ + x olur ve x = 1 için 1 − 1 + 1 = 1 değerini alır. Sonuç 2·1 = 2 bulunur.
Örnek 3. Periyodu 4 olan sürekli bir f fonksiyonu için ∫₀⁴ f(x) dx = 6 ve ∫₀¹ f(x) dx = 2 olduğuna göre ∫₀⁹ f(x) dx kaçtır?
Çözüm. [0, 9] aralığı iki tam periyot ile 1 birimlik bir parçadan oluşur: [0, 8] ve [8, 9]. İlk kısmın integrali 2·6 = 12 olur. [8, 9] aralığı, iki periyot geriye kaydırılınca [0, 1] aralığıyla aynı değerleri taşır; integrali 2 olur. Toplam 12 + 2 = 14 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Aralık sıfıra göre simetrik değilken tek fonksiyonun integralini sıfır saymak.
- Çift fonksiyonda 2 ile çarpmayı unutmak.
- Sabit terimi tek fonksiyon gibi atmak; sabit çift fonksiyondur.
- Periyodik fonksiyonda artan parçayı hesaba katmamak.
- Tek fonksiyon: ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0.
- Çift fonksiyon: ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2·∫₀ᵃ f(x) dx.
- Periyodik fonksiyonda uzunluğu T olan her aralıkta integral aynıdır.