Konu anlatımı
Belirli integralin birkaç özelliği, fonksiyonun kuralı bilinmeden de hesap yapmayı sağlar. Bu alt başlıkta sınırlarla ilgili özellikleri, aralığı bölmeyi, doğrusallığı ve parçalı tanımlı fonksiyonların integralini göreceksin.
Sınırlarla ilgili özellikler
Alt ve üst sınırı eşit olan integral sıfırdır, çünkü F(a) − F(a) = 0 olur. Sınırlar yer değiştirirse sonuç işaret değiştirir, çünkü F(a) − F(b) = −(F(b) − F(a)) olur: ∫₂⁵ f(x) dx = 4 ise ∫₅² f(x) dx = −4 bulunur. Aralık herhangi bir noktadan bölünebilir: f fonksiyonunun 1'den 3'e integrali ile 3'ten 5'e integralinin toplamı, 1'den 5'e integraline eşittir. Bölme noktasının iki sınırın arasında olması gerekmez; eşitlik her sıralamada geçerlidir.
Doğrusallık
Sabit çarpan integralin dışına çıkar ve toplamın integrali integrallerin toplamıdır. Buna göre ∫ₐᵇ [k·f(x) + m·g(x)] dx = k·∫ₐᵇ f(x) dx + m·∫ₐᵇ g(x) dx olur. Sabit bir sayının integrali, sayı ile aralık uzunluğunun çarpımıdır: ∫₁³ 3 dx = 3·(3 − 1) = 6. Bu iki özellik, f ve g fonksiyonlarının integralleri verildiğinde bunlardan kurulan ifadelerin integralini bulmayı sağlar. Çarpım ve bölüm için benzer bir kural yoktur.
Parçalı tanımlı fonksiyonlar
Kuralı aralığa göre değişen bir fonksiyonun integrali alınırken aralık, kuralın değiştiği noktalardan bölünür ve her parçada o parçanın kuralı kullanılır. Geçiş noktasında fonksiyonun hangi kuralla tanımlandığı integralin değerini etkilemez; tek bir noktanın alana katkısı yoktur. Aynı yol, grafiği doğru parçalarından oluşan fonksiyonlarda da izlenir; bu durumda parçaların integrali üçgen ve yamuk alanlarıyla da bulunabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ∫₁⁵ f(x) dx = 8 ve ∫₃⁵ f(x) dx = 3 olduğuna göre ∫₁³ [2f(x) − 3] dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. Aralık bölme özelliğinden ∫₁³ f(x) dx = 8 − 3 = 5 bulunur. Doğrusallıkla istenen integral 2·5 − 3·(3 − 1) = 10 − 6 = 4 olur. Sabit 3 sayısının integralinde aralık uzunluğu olan 2 ile çarpmayı unutmak 7 sonucuna götürür.
Örnek 2. ∫₀⁴ f(x) dx = 7 ve ∫₀⁴ g(x) dx = −2 olduğuna göre ∫₀⁴ [3f(x) − 2g(x) + 1] dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. Terimler ayrı ayrı hesaplanır: 3·7 = 21, −2·(−2) = 4 ve sabit 1 sayısının integrali 1·(4 − 0) = 4. Toplam 21 + 4 + 4 = 29 bulunur.
Örnek 3. f fonksiyonu x < 1 için 2x, x ≥ 1 için 3x² − 1 kuralıyla tanımlanıyor. ∫₀² f(x) dx integralinin değeri kaçtır?
Çözüm. Aralık x = 1 noktasından bölünür. ∫₀¹ 2x dx = 1 olur. ∫₁² (3x² − 1) dx integralinde ters türev x³ − x olur ve (8 − 2) − (1 − 1) = 6 bulunur. Toplam 1 + 6 = 7 çıkar. Bütün aralıkta tek bir kural kullanmak yanlış sonuç verir.
Sık yapılan hatalar
- Sınırlar yer değiştirdiğinde işareti değiştirmemek.
- Sabit bir sayının integralini sayının kendisi sanmak; aralık uzunluğuyla çarpılır.
- Parçalı fonksiyonda aralığı geçiş noktasından bölmemek.
- Çarpımın integralini integrallerin çarpımı olarak hesaplamak.
- Sınırlar eşitse integral sıfırdır; sınırlar yer değiştirirse işaret değişir.
- Aralık bölünebilir: parçaların integralleri toplanır.
- Sabitin integrali: sabit çarpı aralık uzunluğu.