Konu anlatımı
Bazı uzun toplamlar ne aritmetik ne geometriktir, ama terimleri iki ifadenin farkı olarak yazılınca neredeyse hepsi birbirini götürür. Bu alt başlıkta toplam sembolünü, teleskopik toplam fikrini ve en sık karşılaşılan üç kalıbı göreceksin.
Toplam sembolü
Bir dizinin art arda gelen terimlerinin toplamı kısaca Σ sembolüyle yazılır. Sembolün altına indisin başladığı, üstüne bittiği değer, yanına da toplanan ifade yazılır; indis başlangıç değerinden bitiş değerine kadar bütün tam sayıları alır. k indisinin 1'den 4'e kadar değerleri için k² ifadelerinin toplamı 1 + 4 + 9 + 16 = 30, k indisinin 1'den 5'e kadar değerleri için 2k − 1 ifadelerinin toplamı 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 olur. Sembol yalnızca bir kısaltmadır; toplamı açık yazmak her zaman mümkündür.
Teleskopik toplam fikri
Toplanan her terim bₖ₊₁ − bₖ gibi ardışık iki değerin farkı olarak yazılabiliyorsa toplamda ortadaki bütün terimler birbirini götürür ve yalnızca son değer ile ilk değerin farkı kalır. Örneğin k indisinin 1'den 9'a kadar değerleri için (k + 1)² − k² ifadelerinin toplamı 10² − 1² = 99 olur. Bu tür toplamlara, iç içe kapanan bir teleskopa benzetilerek teleskopik toplam denir.
Üç kalıp
Birinci kalıp paydası ardışık iki çarpan olan kesirlerdir: 1/(n·(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1). Çarpanlar arasındaki fark 1 değilse farkın tersi çarpan olarak gelir: 1/((2n − 1)(2n + 1)) = (1/2)·(1/(2n − 1) − 1/(2n + 1)). İkinci kalıp logaritmadır: log(1 + 1/n) = log((n + 1)/n) = log(n + 1) − log n. Üçüncü kalıp köklü paydadır: 1/(√n + √(n + 1)) ifadesi eşlenikle çarpılınca √(n + 1) − √n olur. Üçünde de toplamdan geriye ilk ve son parçalar kalır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/(19·20) toplamı kaçtır?
Çözüm. Her terim iki kesrin farkı olarak yazılır: (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ... + (1/19 − 1/20). Ortadaki bütün kesirler birbirini götürür ve 1 − 1/20 = 19/20 kalır.
Örnek 2. 1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + ... + 1/(19·21) toplamı kaçtır?
Çözüm. Çarpanlar arasındaki fark 2 olduğundan her terim (1/2)·(1/(2n − 1) − 1/(2n + 1)) biçimindedir. Toplam (1/2)·(1 − 1/3 + 1/3 − 1/5 + ... + 1/19 − 1/21) = (1/2)·(1 − 1/21) = (1/2)·(20/21) = 10/21 bulunur. Baştaki 1/2 çarpanını unutmak 20/21 sonucuna götürür.
Örnek 3. log(1 + 1/1) + log(1 + 1/2) + log(1 + 1/3) + ... + log(1 + 1/99) toplamı kaçtır?
Çözüm. Her terim log((n + 1)/n) biçimindedir; toplam, çarpımın logaritmasıdır: log((2/1)·(3/2)·(4/3)·...·(100/99)). Çarpımda paylar ve paydalar sadeleşir ve 100 kalır. Sonuç log 100 = 2 olur.
Sık yapılan hatalar
- Çarpanlar arasındaki fark 1 değilken baştaki katsayıyı unutmak.
- Sadeleşmeden sonra kalan ilk ve son terimi yanlış belirlemek; toplamın ilk ve son birkaç terimini açık yazmak hatayı önler.
- Logaritmaların toplamını logaritmaların çarpımı sanmak; toplam, çarpımın logaritmasıdır.
- 1/(n·(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1).
- Teleskopik toplamda yalnızca baştaki ve sondaki parçalar kalır.
- Logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasıdır.