Konu anlatımı
Bazı sorularda aynı sayılar hem bir aritmetik dizinin hem de bir geometrik dizinin terimleri olarak verilir. Bu alt başlıkta iki dizinin koşullarını birlikte yazmayı, bilinmeyen sayısını azaltan gösterimleri ve çıkan denklemin köklerini yorumlamayı göreceksin.
İki koşulu birlikte yazmak
Üç sayı aritmetik dizi oluşturuyorsa ortancanın iki katı öteki ikisinin toplamıdır; geometrik dizi oluşturuyorsa ortancanın karesi öteki ikisinin çarpımıdır. Soru hangi üçlünün hangi türden olduğunu söyler; her üçlü için ilgili bağıntı yazılır ve iki bilinmeyenli bir sistem elde edilir. Sistem çoğu zaman ikinci dereceden bir denkleme iner ve iki çözüm verir; sorudaki pozitiflik ya da farklı olma koşulu çözümlerden birini eler.
Bir aritmetik dizinin terimleri geometrik dizi oluşturuyorsa
Bir aritmetik dizinin bazı terimleri geometrik dizi oluşturuyorsa bu terimler a₁ ve d cinsinden yazılır ve b² = a·c bağıntısı kurulur. Denklemde d ortak çarpan olarak çıkar; d = 0 çözümü sabit diziye karşılık gelir ve soru ortak farkın sıfırdan farklı olduğunu söylüyorsa atılır.
Kullanışlı gösterimler ve bir sonuç
Toplamı bilinen üç terimli aritmetik dizi b − d, b, b + d biçiminde yazılırsa toplam 3b olur ve ortanca terim hemen bulunur. Çarpımı bilinen üç terimli geometrik dizi b/r, b, b·r biçiminde yazılırsa çarpım b³ olur.
Üç sayı hem aritmetik hem geometrik dizi oluşturuyorsa 2b = a + c ve b² = a·c eşitliklerinden (a + c)² = 4ac, yani (a − c)² = 0 bulunur; sayılar birbirine eşittir. Hem aritmetik hem geometrik olan dizi, sıfırdan farklı terimli sabit dizidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Ortak farkı sıfırdan farklı olan bir aritmetik dizinin birinci, ikinci ve beşinci terimleri bu sırayla bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. İlk terim 3 olduğuna göre dizinin onuncu terimi kaçtır?
Çözüm. Terimler 3, 3 + d ve 3 + 4d biçimindedir. Geometrik dizi koşulu (3 + d)² = 3·(3 + 4d) verir: 9 + 6d + d² = 9 + 12d, yani d² − 6d = 0. d sıfırdan farklı olduğundan d = 6 bulunur. Üç terim 3, 9 ve 27 olur; ortak çarpan 3'tür. Onuncu terim 3 + 9·6 = 57 çıkar.
Örnek 2. a ve b pozitif sayılar olmak üzere 2, a, b sayıları bir aritmetik dizinin, a, b, 9 sayıları bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. a + b kaçtır?
Çözüm. Aritmetik koşul 2a = 2 + b, yani b = 2a − 2 verir. Geometrik koşul b² = 9a olur: (2a − 2)² = 9a, yani 4a² − 17a + 4 = 0 ve (4a − 1)(a − 4) = 0. a = 4 için b = 6, a = 1/4 için b = −3/2 bulunur. b pozitif olması gerektiğinden a = 4 ve b = 6 alınır; a + b = 10 olur.
Örnek 3. Bir geometrik dizinin ardışık üç teriminin çarpımı 216, toplamı 26'dır. Bu terimlerin en büyüğü kaçtır?
Çözüm. Terimler b/r, b ve b·r biçiminde yazılır; çarpımları b³ = 216 olduğundan b = 6 bulunur. Toplam 6/r + 6 + 6r = 26, yani 6r² − 20r + 6 = 0 ve 3r² − 10r + 3 = 0 olur; r = 3 ya da r = 1/3 çıkar. İki durumda da terimler 2, 6 ve 18 sayılarıdır; en büyüğü 18'dir.
Sık yapılan hatalar
- Aritmetik üçlüye b² = a·c, geometrik üçlüye 2b = a + c bağıntısını yazmak.
- d = 0 çözümünü denetlemeden kabul etmek ya da atmak; sorunun koşuluna bakılır.
- İkinci dereceden denklemin köklerinden birini, sorunun pozitiflik koşulunu denetlemeden seçmek.
- Aritmetik üçlü: 2b = a + c; geometrik üçlü: b² = a·c.
- Toplamı bilinen aritmetik üçlü: b − d, b, b + d; çarpımı bilinen geometrik üçlü: b/r, b, b·r.
- Hem aritmetik hem geometrik olan dizi sabit dizidir.