Konu anlatımı
Bir aritmetik dizinin terimlerini tek tek toplamak yerine ilk ve son terimden yararlanan kısa bir formül kullanılır. Bu alt başlıkta toplam formülünü, formülün iki yazımını, toplam verildiğinde genel terimi bulmayı ve toplamın en büyük değerini araştırmayı göreceksin.
Toplam formülü
İlk n terimin toplamı Sₙ ile gösterilir. Toplam bir kez baştan sona, bir kez sondan başa yazılıp alt alta toplanırsa her sütunun toplamı a₁ + aₙ olur ve n sütun vardır; buradan Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 bulunur. aₙ yerine a₁ + (n − 1)·d yazılırsa ikinci biçim elde edilir: Sₙ = n·(2a₁ + (n − 1)·d)/2. 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamı 100·(1 + 100)/2 = 5050 olur.
Formülü kullanmadan önce terim sayısı doğru bulunmalıdır. 1, 3, 5, ..., 39 toplamında son terim 1 + (n − 1)·2 = 39 eşitliğinden n = 20 bulunur ve toplam 20·(1 + 39)/2 = 400 olur.
Toplamdan genel terime
Sₙ ile Sₙ₋₁ arasındaki tek fark n. terimdir: n ≥ 2 için aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁, ayrıca a₁ = S₁ olur. Bir aritmetik dizide Sₙ, n değişkenine göre sabit terimi olmayan ve en çok ikinci dereceden bir ifadedir; n² teriminin katsayısı ortak farkın yarısıdır. Sₙ = 3n² − 2n ise aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 6n − 5 bulunur; ortak fark 6, ilk terim S₁ = 1 olur.
Toplamın en büyük değeri
İlk terimi pozitif, ortak farkı negatif olan bir dizide terimler bir yerden sonra negatife döner. Toplam, pozitif terimler eklendiği sürece büyür; negatif terimler eklenmeye başlayınca küçülür. Bu yüzden en büyük toplam, son pozitif terime kadar olan toplamdır. Terimlerden biri sıfırsa o terimi eklemek toplamı değiştirmez ve en büyük değer iki ayrı n için alınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 1 ile 100 arasındaki 3 ile bölünebilen doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm. Sayılar 3, 6, 9, ..., 99 biçiminde ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizidir. 99 = 3·33 olduğundan 33 terim vardır. Toplam 33·(3 + 99)/2 = 33·51 = 1683 bulunur.
Örnek 2. İlk n teriminin toplamı Sₙ = 3n² − 2n olan dizinin sekizinci terimi kaçtır?
Çözüm. a₈ = S₈ − S₇ olur. S₈ = 3·64 − 16 = 176 ve S₇ = 3·49 − 14 = 133 olduğundan a₈ = 43 bulunur. Genel terimle de aynı sonuç çıkar: aₙ = 6n − 5 ve a₈ = 48 − 5 = 43. S₈ değerini a₈ sanmak sık yapılan hatadır.
Örnek 3. İlk terimi 40 ve ortak farkı −3 olan aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm. Genel terim aₙ = 40 − 3(n − 1) = 43 − 3n olur. Terim pozitif kaldıkça toplam büyür: 43 − 3n > 0 eşitsizliğinden n ≤ 14 bulunur; a₁₄ = 1 ve a₁₅ = −2 olur. En büyük toplam S₁₄ = 14·(40 + 1)/2 = 287 değeridir.
Sık yapılan hatalar
- Terim sayısını son terimle karıştırmak; önce n bulunur.
- Sₙ ifadesini aₙ sanmak.
- aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ bağıntısını n = 1 için de kullanmak; a₁ = S₁ olarak ayrıca bulunur.
- En büyük toplamı ararken negatif terimleri de eklemeye devam etmek.
- Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 = n·(2a₁ + (n − 1)·d)/2.
- aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2) ve a₁ = S₁.
- En büyük toplam, son pozitif terime kadar olan toplamdır.