Konu anlatımı
Dizi, sıra numarasına bir sayı karşılık getiren fonksiyondur. Bu alt başlıkta dizinin tanımını, genel terimi, bir ifadenin dizi belirtmesi için gereken koşulu, sonlu, sabit ve eşit dizileri ve genel terimden terimler hakkında bilgi çıkarmayı göreceksin.
Tanım ve gösterim
Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan ve değerleri gerçek sayı olan fonksiyona gerçek sayı dizisi denir. Fonksiyonun n sayısına karşılık getirdiği değer aₙ ile gösterilir; a₁ birinci terim, a₂ ikinci terim, aₙ ise genel terimdir. Genel terimi aₙ = (2n + 1)/(n + 2) olan dizinin ilk üç terimi 1, 5/4 ve 7/5 olur.
Bir ifadenin dizi belirtmesi için her pozitif tam sayıda tanımlı olması gerekir. aₙ = 1/(n − 3) ifadesi n = 3 için tanımsız olduğundan bir dizinin genel terimi değildir. Paydayı sıfır yapan ya da karekökün içini negatif yapan bir pozitif tam sayı varsa ifade dizi belirtmez.
Sonlu, sabit ve eşit diziler
Tanım kümesi 1'den k sayısına kadar olan pozitif tam sayılarla sınırlıysa dizi sonludur ve k terimi vardır. Bütün terimleri aynı olan dizi sabit dizidir; aₙ = (k − 1)·n + 3 dizisinin sabit olması için n teriminin katsayısı sıfır olmalıdır, yani k = 1 olur. İki dizinin eşit olması, her n için aynı sıradaki terimlerinin eşit olması demektir; yalnızca ilk birkaç terimin eşit olması yetmez.
Genel terimle çalışmak
Bir sayının dizinin kaçıncı terimi olduğunu bulmak için genel terim o sayıya eşitlenir ve n için pozitif tam sayı çözüm aranır. aₙ = n² − 4n dizisinde 21 sayısı için n² − 4n − 21 = 0, yani n = 7 ya da n = −3 bulunur; 21 yedinci terimdir. Çözüm pozitif tam sayı değilse o sayı dizinin terimi değildir. Terimlerin işareti, en büyük ya da en küçük terim gibi sorularda genel terim n değişkenli bir ifade gibi incelenir; yalnız n her zaman pozitif tam sayıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Genel terimi aₙ = (3n − 20)/(n + 1) olan dizinin kaç terimi negatiftir?
Çözüm. Payda her pozitif tam sayı için pozitiftir; terimin işaretini pay belirler. 3n − 20 < 0 eşitsizliğinden n < 20/3, yani n ≤ 6 bulunur. Dizinin ilk 6 terimi negatiftir; yedinci terimden başlayarak terimler pozitiftir.
Örnek 2. Aynı dizinin kaç terimi tam sayıdır?
Çözüm. Genel terim bölme yapılarak yazılır: (3n − 20)/(n + 1) = 3 − 23/(n + 1). Terimin tam sayı olması için n + 1 sayısı 23'ü bölmelidir. 23 asal olduğundan n + 1 = 23 ve n = 22 bulunur; n + 1 = 1 olamaz, çünkü n pozitiftir. Yalnızca a₂₂ = 3 − 1 = 2 terimi tam sayıdır.
Örnek 3. Genel terimi aₙ = n² − 9n + 3 olan dizinin en küçük terimi kaçtır?
Çözüm. İfade n değişkenine göre kolları yukarı doğru bir paraboldür ve tepe noktasının apsisi 9/2 olur. n tam sayı olmak zorunda olduğundan 9/2 sayısına en yakın tam sayılar olan 4 ve 5 denenir: a₄ = 16 − 36 + 3 = −17 ve a₅ = 25 − 45 + 3 = −17. En küçük terim −17'dir ve iki ayrı terimde alınır.
Sık yapılan hatalar
- n yerine kesirli ya da negatif değer yazmak; n yalnızca pozitif tam sayıdır.
- Bir pozitif tam sayıda tanımsız olan ifadeyi dizi saymak.
- En küçük terimi ararken tepe noktasının apsisini tam sayı olmadığı hâlde doğrudan kullanmak.
- Dizi, pozitif tam sayılardan gerçek sayılara bir fonksiyondur.
- Bir sayının kaçıncı terim olduğu, genel terim o sayıya eşitlenerek bulunur.
- Sabit dizide n içeren terimlerin katsayısı sıfırdır.