Konu anlatımı
Dizi soruları her zaman formülle gelmez; bir şekil örüntüsü, bir tablo ya da günlük hayattan bir durum olarak da verilir. Bu alt başlıkta örüntüden genel terim çıkarmayı, durumun aritmetik mi geometrik mi olduğunu ayırt etmeyi ve sorulan şeyin terim mi toplam mı olduğuna karar vermeyi göreceksin.
Örüntüden genel terim
Önce ilk birkaç adımın sayıları yazılır ve ardışık terimlerin farkına bakılır. Farklar sabitse dizi aritmetiktir. Kibrit çöpleriyle yan yana kareler yapılırken 1 kare için 4, 2 kare için 7, 3 kare için 10 çöp gerekir; her yeni kare 3 çöp ekler ve n kare için 3n + 1 çöp kullanılır. Farklar sabit değil de kendileri bir aritmetik dizi oluşturuyorsa genel terim ikinci derecedendir ve farklar toplanarak bulunur. Oranlar sabitse dizi geometriktir.
Terim mi, toplam mı?
Günlük hayat problemlerinde en önemli karar, sorulan büyüklüğün bir terim mi yoksa bir toplam mı olduğudur. Belirli bir gündeki, sıradaki ya da adımdaki miktar bir terimdir; o güne kadar birikmiş miktar ise bir toplamdır. Her adımda sabit bir miktar ekleniyorsa aritmetik, sabit bir sayıyla çarpılıyorsa geometrik dizi kurulur. 0,1 mm kalınlığındaki bir kâğıt her katlamada iki kat kalınlaşır; 10 katlamadan sonra kalınlık 0,1·2¹⁰ = 102,4 mm olur.
Tablo ve grafikle verilen diziler
Tabloda ya da sütun grafiğinde ilk birkaç terim verilir; kural bu terimlerden çıkarılır ve istenen terim ya da toplam hesaplanır. Bir ürünün haftalık satışı ilk üç hafta 5, 15 ve 45 adet ise oran sabittir ve r = 3 olur; dördüncü hafta 135 adet satılır ve ilk dört haftanın toplam satışı 5 + 15 + 45 + 135 = 200 adettir. Kuralı yalnızca iki terime bakarak belirlemek risklidir; üçüncü terimle de doğrulanmalıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir tiyatro salonunda ilk sırada 12 koltuk vardır ve her sırada bir önceki sıradan 2 koltuk fazladır. 15 sıralı bu salonda toplam kaç koltuk vardır?
Çözüm. Sıralardaki koltuk sayıları ilk terimi 12, ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizidir. Son sırada a₁₅ = 12 + 14·2 = 40 koltuk vardır. Toplam S₁₅ = 15·(12 + 40)/2 = 15·26 = 390 koltuk bulunur.
Örnek 2. Altıgen karolarla yapılan bir desende birinci adımda 1 karo vardır ve her adımda desenin çevresine bir halka eklenir: ikinci adımda toplam 7, üçüncü adımda 19, dördüncü adımda 37 karo olur. Beşinci adımda toplam kaç karo olur ve n. adımdaki karo sayısı nedir?
Çözüm. Ardışık farklar 6, 12 ve 18'dir; her halka bir öncekinden 6 karo fazladır. Beşinci adımda 37 + 24 = 61 karo olur. Genel olarak n. adımdaki sayı 1 + 6·(1 + 2 + ... + (n − 1)) = 1 + 6·n(n − 1)/2 = 3n² − 3n + 1 biçimindedir. Kontrol: n = 4 için 48 − 12 + 1 = 37.
Örnek 3. Bir öğrenci 300 sayfalık bir kitabı okumaya ilk gün 12 sayfayla başlıyor ve her gün bir önceki günden 3 sayfa fazla okuyor. Kitap kaçıncı gün biter?
Çözüm. Günlük okunan sayfalar ilk terimi 12, ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizidir; sorulan, toplamın 300'e ulaştığı gündür. 11 günün toplamı S₁₁ = 11·(2·12 + 10·3)/2 = 11·27 = 297 sayfa, 12 günün toplamı S₁₂ = 12·(24 + 33)/2 = 342 sayfadır. 11. günün sonunda 3 sayfa kalır; kitap 12. gün biter.
Sık yapılan hatalar
- Toplam sorulan problemde yalnızca son terimi hesaplamak.
- Farkları sabit olmayan bir örüntüye aritmetik dizi formülünü uygulamak.
- Yan yana karelerde her kare için 4 çöp sayıp ortak kenarları iki kez hesaba katmak.
- Bitiş gününü bulurken toplamın tam eşit olmasını bekleyip aşılan ilk günü kaçırmak.
- Farklar sabitse aritmetik, oranlar sabitse geometrik dizi.
- Farklar aritmetik dizi oluşturuyorsa genel terim ikinci derecedendir.
- O andaki miktar bir terim, birikmiş miktar bir toplamdır.