Konu anlatımı
Her terimi bir öncekinin aynı sayıyla çarpılmasıyla elde edilen dizilere geometrik dizi denir. Bu alt başlıkta ortak çarpanı, genel terimi, iki terim arasındaki bağıntıyı ve ortanca terim özelliğini göreceksin.
Ortak çarpan ve genel terim
Terimleri sıfırdan farklı bir dizide her n için aₙ₊₁/aₙ oranı aynı r sayısına eşitse dizi geometriktir ve r ortak çarpandır. İlk terimden n. terime ulaşmak için n − 1 kez r ile çarpılır: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹. 2, 6, 18, ... dizisinde r = 3, 80, 40, 20, ... dizisinde r = 1/2, 3, −6, 12, ... dizisinde r = −2 olur. Ortak çarpan negatifse terimlerin işareti sırayla değişir; 0 ile 1 arasındaysa pozitif terimler giderek küçülür.
İki terim arasındaki bağıntı
Herhangi iki terim arasında aₙ = aₘ·rⁿ⁻ᵐ bağıntısı vardır. İki terim bilindiğinde oranları ortak çarpanın bir kuvvetini verir: a₆/a₃ = r³ olur. Kuvvet çiftse r için bir pozitif, bir negatif değer çıkar; soru terimlerin pozitif olduğunu ya da dizinin artan olduğunu söyleyerek birini seçtirir. Kuvvet tekse tek bir gerçek değer vardır.
Ortanca terim özelliği
Bir geometrik dizide sıra numaraları toplamı eşit olan terim çiftlerinin çarpımları eşittir: a₂·a₈ = a₅·a₅ = a₅². Ardışık üç terim a, b, c ise b² = a·c olur; b sayısına a ile c sayılarının geometrik ortası denir. İki sayı arasına geometrik dizi oluşturacak biçimde k terim yerleştirilirse k + 1 adım atılır: 4 ile 324 arasına pozitif üç terim yerleştirilirse r⁴ = 324/4 = 81 ve r = 3 olur; terimler 12, 36 ve 108'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir geometrik dizide a₃ = 12 ve a₆ = 96 olduğuna göre a₁₀ kaçtır?
Çözüm. a₆ = a₃·r³ olduğundan r³ = 96/12 = 8 ve r = 2 bulunur. a₁₀ = a₆·r⁴ = 96·16 = 1536 olur. İlk terim üzerinden de gidilebilir: a₁ = 12/4 = 3 ve a₁₀ = 3·2⁹ = 1536.
Örnek 2. Terimleri pozitif olan bir geometrik dizide a₂·a₈ = 81 olduğuna göre a₅ kaçtır?
Çözüm. 2 + 8 = 5 + 5 olduğundan a₂·a₈ = a₅² olur. a₅² = 81 eşitliğinden a₅ = 9 ya da a₅ = −9 çıkar; terimler pozitif olduğundan a₅ = 9 alınır. İlk terimi ve ortak çarpanı ayrı ayrı bulmak mümkün değildir ve gerekmez.
Örnek 3. x − 2, x + 1 ve x + 7 sayıları bu sırayla bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. Ortanca terimin karesi öteki iki terimin çarpımına eşittir: (x + 1)² = (x − 2)(x + 7). x² + 2x + 1 = x² + 5x − 14 eşitliğinden 3x = 15 ve x = 5 bulunur. Terimler 3, 6 ve 12 olur; ortak çarpan 2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Genel terimi a₁·rⁿ diye yazmak.
- r² = 9 gibi bir eşitlikten yalnızca r = 3 değerini almak ve r = −3 olasılığını incelememek.
- Geometrik dizide ortanca terim için 2b = a + c yazmak; doğrusu b² = a·c bağıntısıdır.
- aₙ = a₁·rⁿ⁻¹.
- aₙ = aₘ·rⁿ⁻ᵐ.
- Ardışık üç terimde b² = a·c.