Konu anlatımı
Geometrik dizilerde terimler hızla büyüdüğü ya da küçüldüğü için toplam formülü büyük kolaylık sağlar. Bu alt başlıkta formülün nereden geldiğini, farklı ortak çarpanlarla kullanımını ve toplam verildiğinde terim sayısını bulmayı göreceksin.
Toplam formülü
Sₙ = a₁ + a₁·r + ... + a₁·rⁿ⁻¹ toplamı r ile çarpılırsa r·Sₙ = a₁·r + a₁·r² + ... + a₁·rⁿ elde edilir. İkinci eşitlikten birincisi çıkarılınca ara terimler birbirini götürür ve (r − 1)·Sₙ = a₁·(rⁿ − 1) kalır. r ≠ 1 için Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1) bulunur. r = 1 ise dizi sabittir ve toplam n·a₁ olur. 1 + 2 + 4 + ... + 2⁹ toplamında a₁ = 1, r = 2 ve n = 10 olduğundan sonuç 2¹⁰ − 1 = 1023'tür.
Kesirli ve negatif ortak çarpan
Ortak çarpan 0 ile 1 arasındaysa pay ve paydanın işareti değiştirilerek Sₙ = a₁·(1 − rⁿ)/(1 − r) biçimi kullanılır; iki biçim aynı sonucu verir. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 toplamı (1 − 1/16)/(1 − 1/2) = 15/8 olur. Ortak çarpan negatifse üs alınırken işarete dikkat edilir: 3 − 6 + 12 − 24 + 48 − 96 toplamında r = −2 ve n = 6 olduğundan 3·((−2)⁶ − 1)/(−2 − 1) = 3·63/(−3) = −63 bulunur.
Terim sayısını bulmak
Toplamdaki terim sayısı, son terim genel terime eşitlenerek bulunur. Toplam verilip n soruluyorsa formül kurulur ve rⁿ yalnız bırakılır; çıkan sayı r sayısının bir kuvveti olarak yazılır. Formüldeki n, terim sayısıdır; son terimin üssü ise n − 1 olur. Bu ikisini karıştırmak sonucu bir çarpan kadar kaydırır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 2 + 6 + 18 + ... + 1458 toplamı kaçtır?
Çözüm. a₁ = 2 ve r = 3 olan geometrik dizide son terim 2·3ⁿ⁻¹ = 1458, yani 3ⁿ⁻¹ = 729 = 3⁶ ve n = 7 olur. Toplam S₇ = 2·(3⁷ − 1)/(3 − 1) = 3⁷ − 1 = 2186 bulunur.
Örnek 2. İlk terimi 5 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı 315 olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm. Sₙ = 5·(2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 5·(2ⁿ − 1) olur. 5·(2ⁿ − 1) = 315 eşitliğinden 2ⁿ − 1 = 63 ve 2ⁿ = 64 bulunur; n = 6 çıkar. Terimler 5, 10, 20, 40, 80 ve 160'tır; toplamları 315 eder.
Örnek 3. 81 cm yükseklikten bırakılan bir top, yere her çarpışında bir önceki düştüğü yüksekliğin 2/3 katı kadar yükseliyor. Top yere dördüncü kez çarptığı ana kadar toplam kaç cm yol alır?
Çözüm. Top önce 81 cm düşer. Sonra 54 cm çıkıp 54 cm iner, 36 cm çıkıp 36 cm iner, 24 cm çıkıp 24 cm iner ve yere dördüncü kez çarpar. Çıkış yükseklikleri ortak çarpanı 2/3 olan bir geometrik dizidir ve toplamları 54 + 36 + 24 = 114 cm eder. Toplam yol 81 + 2·114 = 309 cm olur.
Sık yapılan hatalar
- Formülde n yerine son terimin üssünü yazmak.
- Negatif ortak çarpanda (−2)⁶ ifadesini −64 almak; çift kuvvet pozitiftir.
- Zıplayan top sorularında çıkış yollarını iki kez saymayı unutmak.
- r = 1 için formülü uygulamaya çalışmak.
- r ≠ 1 için Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1).
- r = 1 ise Sₙ = n·a₁.
- Formüldeki n terim sayısıdır; son terim a₁·rⁿ⁻¹ olur.