Konu anlatımı
Her terimi bir öncekine aynı sayının eklenmesiyle elde edilen dizilere aritmetik dizi denir. Bu alt başlıkta ortak farkı, genel terimi, iki terim arasındaki bağıntıyı, ortanca terim özelliğini ve iki sayı arasına terim yerleştirmeyi göreceksin.
Ortak fark ve genel terim
Bir dizide her n için aₙ₊₁ − aₙ farkı aynı d sayısına eşitse dizi aritmetiktir ve d ortak farktır. d pozitifse dizi artan, negatifse azalan, sıfırsa sabittir. İlk terimden n. terime ulaşmak için n − 1 kez d eklenir: aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Genel terim n değişkenine göre birinci derecedendir ve n teriminin katsayısı ortak farktır: aₙ = 4n + 3 dizisinde d = 4 olur.
7, 11, 15, ... dizisinde 83 sayısının kaçıncı terim olduğunu bulmak için 7 + (n − 1)·4 = 83 yazılır; n − 1 = 19 ve n = 20 bulunur.
İki terim arasındaki bağıntı
Herhangi iki terim arasında aₙ = aₘ + (n − m)·d bağıntısı vardır; sıra numaralarının farkı kadar adım atılır. Buna göre iki terim bilindiğinde ortak fark, terimlerin farkının sıra numaralarının farkına bölümüdür. İlk terimi bulmadan istenen terime gidilebilir; bu çoğu zaman daha kısadır.
Ortanca terim ve eşit toplamlar
Bir aritmetik dizide sıra numaraları toplamı eşit olan terim çiftlerinin toplamları da eşittir: a₂ + a₁₂ = a₅ + a₉ olur, çünkü 2 + 12 = 5 + 9. Özel olarak a₄ + a₁₀ = 2·a₇ olur; yani bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır. Ardışık üç terim a, b, c ise 2b = a + c yazılır. İki sayı arasına aritmetik dizi oluşturacak biçimde k terim yerleştirilirse toplam k + 2 terim ve k + 1 adım olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir aritmetik dizide a₃ + a₉ = 40 ve a₆ − a₂ = 12 olduğuna göre a₁₀ kaçtır?
Çözüm. a₆ ile a₂ arasında 4 adım vardır: 4d = 12 ve d = 3. Sıra numaraları toplamı eşit olduğundan a₃ + a₉ = 2·a₆ olur; a₆ = 20 bulunur. a₁₀ = a₆ + 4d = 20 + 12 = 32 çıkar.
Örnek 2. 5 ile 29 arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi oluşturacak biçimde 5 terim yerleştiriliyor. Yerleştirilen terimlerin toplamı kaçtır?
Çözüm. Dizi 7 terimli olur; 5 birinci, 29 yedinci terimdir ve arada 6 adım vardır: d = (29 − 5)/6 = 4. Yerleştirilen terimler 9, 13, 17, 21 ve 25'tir; toplamları 85 eder. Adım sayısını 5 almak d = 24/5 gibi yanlış bir ortak farka götürür.
Örnek 3. x − 1, 2x + 1 ve 4x − 3 sayıları bu sırayla bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. Ortanca terimin iki katı, öteki iki terimin toplamına eşittir: 2·(2x + 1) = (x − 1) + (4x − 3). 4x + 2 = 5x − 4 eşitliğinden x = 6 bulunur. Terimler 5, 13 ve 21 olur; ortak fark 8'dir.
Sık yapılan hatalar
- Genel terimi a₁ + n·d diye yazmak.
- Araya k terim yerleştirince adım sayısını k almak; adım sayısı k + 1 olur.
- a₃ + a₉ toplamını a₁₂ sanmak; sıra numaraları toplanarak yeni terim bulunmaz.
- aₙ = a₁ + (n − 1)·d.
- aₙ = aₘ + (n − m)·d.
- Ardışık üç terimde 2b = a + c.