Konu anlatımı
Bir dizinin her terimi, kendinden önceki terimler cinsinden tanımlanabilir. Bu alt başlıkta böyle dizilerde terim bulmayı, Fibonacci dizisini, ardışık farkları verilen dizileri, terimleri tekrarlanan dizileri ve terslerine geçince aritmetik diziye dönüşen kesirli bağıntıları göreceksin.
İndirgeme bağıntısı
İlk terim ya da terimler ile aₙ₊₁ terimini öncekilere bağlayan kural birlikte verildiğinde dizi tam olarak belirlenir; terimler sırayla hesaplanır. a₁ = 1 ve aₙ₊₁ = 2·aₙ + 1 bağıntısı 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... dizisini verir. Fibonacci dizisi iki önceki terime bağlıdır: F₁ = F₂ = 1 ve Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ. İlk on terimi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ve 55 olur. Bu dizi doğada ve sanatta sık karşılaşılan bir örüntüdür.
Ardışık farkları ya da oranları verilen diziler
aₙ₊₁ = aₙ + f(n) biçimindeki bağıntılarda eşitlikler n = 1'den başlayarak alt alta yazılıp toplanır; ara terimler birbirini götürür ve aₙ = a₁ + f(1) + f(2) + ... + f(n − 1) kalır. Bağıntı aₙ₊₁ = aₙ·g(n) biçimindeyse eşitlikler taraf tarafa çarpılır. a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = aₙ·(n + 1)/n bağıntısında çarpım sadeleşir ve aₙ = 2n bulunur.
Periyodik diziler
Bazı bağıntılarda terimler bir süre sonra baştaki değerlere döner ve aynı blok tekrarlanır. Böyle bir dizide önce birkaç terim hesaplanır ve tekrar eden blok bulunur; istenen terimin sıra numarası blok uzunluğuna bölünür ve kalana bakılır. Kalan sıfırsa terim bloğun son elemanıdır.
Kesirli bağıntılar
aₙ₊₁ = aₙ/(1 + k·aₙ) biçimindeki bağıntılarda iki tarafın çarpmaya göre tersi alınır: 1/aₙ₊₁ = 1/aₙ + k. Yani terimlerin terslerinden oluşan dizi, ortak farkı k olan bir aritmetik dizidir. Tersler dizisinin genel terimi yazılır ve sonra yeniden ters çevrilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a₁ = 5 ve her n ≥ 1 için aₙ₊₁ = aₙ + 4n olan dizide a₁₀ kaçtır?
Çözüm. a₁₀, ilk terime 4·1, 4·2, ..., 4·9 sayılarının eklenmesiyle bulunur: a₁₀ = 5 + 4·(1 + 2 + ... + 9). Parantezin içi 9·10/2 = 45 olduğundan a₁₀ = 5 + 180 = 185 çıkar. Toplamı 10'a kadar almak sık yapılan hatadır; onuncu terime ulaşmak için dokuz adım atılır.
Örnek 2. a₁ = 1/2 ve her n ≥ 1 için aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3·aₙ) olan dizide a₁₀ kaçtır?
Çözüm. İki tarafın tersi alınır: 1/aₙ₊₁ = (1 + 3·aₙ)/aₙ = 1/aₙ + 3. Tersler dizisi ilk terimi 2 ve ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizidir: 2, 5, 8, 11, ... Onuncu terimi 2 + 9·3 = 29 olur. Buna göre a₁₀ = 1/29 bulunur.
Örnek 3. a₁ = 3 ve her n ≥ 1 için aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) olan dizide a₁₀₀ kaçtır?
Çözüm. İlk terimler hesaplanır: a₂ = 2/4 = 1/2, a₃ = (−1/2)/(3/2) = −1/3, a₄ = (−4/3)/(2/3) = −2 ve a₅ = (−3)/(−1) = 3. Beşinci terim birinciye eşit olduğundan 3, 1/2, −1/3, −2 bloğu tekrarlanır ve blok uzunluğu 4'tür. 100 sayısı 4 ile tam bölündüğünden a₁₀₀ bloğun son elemanıdır: a₁₀₀ = −2.
Sık yapılan hatalar
- aₙ₊₁ = aₙ + f(n) bağıntısında toplamı n'ye kadar almak; aₙ için toplam n − 1 terime kadar gider.
- Periyodik dizide kalan sıfır çıktığında ilk terimi yazmak; doğrusu bloğun son terimidir.
- Kesirli bağıntıda ters almak yerine terimleri tek tek hesaplamaya çalışıp işlem hatası yapmak.
- İndirgeme bağıntısında ilk terimi hesaba katmadan genel terim yazmak.
- aₙ₊₁ = aₙ + f(n) ise aₙ = a₁ + f(1) + ... + f(n − 1).
- Periyodik dizide sıra numarasının blok uzunluğuna bölümünden kalana bak.
- aₙ₊₁ = aₙ/(1 + k·aₙ) ise tersler dizisi aritmetiktir.