Konu anlatımı
Trafik ışığında kalkan bir otomobil, yanından sabit hızla geçen bir kamyona ne zaman yetişir? Bu tür sorularda iki cismin hareketini aynı anda izlemen gerekir. Bu alt başlıkta yetişme, karşılaşma ve en büyük uzaklık sorularının ortak çözüm yolunu göreceksin.
Konum denklemlerini yazmak
Ortak bir başlangıç noktası ve pozitif yön seç; her cismin konumunu zamana bağlı yaz. Sabit hızlı cisim için x = x₀ + v·t, sabit ivmeli cisim için x = x₀ + v₀·t + ½·a·t² kullanılır. Bir cisim öbüründen önde başlıyorsa bu fark x₀ ile hesaba katılır; daha geç başlıyorsa onun denkleminde süre o kadar kısa yazılır. Yetişme ya da karşılaşma, iki cismin aynı anda aynı konumda olması demektir; konum denklemleri eşitlenir ve t çözülür.
En büyük ve en küçük uzaklık
İki cisim arasındaki uzaklık, öndeki daha hızlıyken artar, arkadaki daha hızlıyken azalır. Bu yüzden uzaklığın en büyük ya da en küçük olduğu an, hızların eşit olduğu andır. Önce hız denklemlerini eşitleyerek bu anı bul, sonra o andaki konumların farkını al. Hız-zaman grafiğinde bu an, iki grafiğin kesiştiği andır; başlangıçtan o ana kadar iki grafik arasında kalan alan, aradaki uzaklığın ne kadar değiştiğini verir.
Sık karşılaşılan durumlar
Aynı noktadan aynı anda başlayan sabit hızlı araca, durgun hâlden ivmelenen araç t = 2·v/a anında yetişir; en büyük uzaklık bunun yarısı olan t = v/a anında gerçekleşir. Karşılıklı gelen araçlarda aldıkları yolların toplamı başlangıçtaki uzaklığa eşittir. Öndeki yavaş araca çarpmamak için fren yapan araçta en kritik an hızların eşitlendiği andır: o ana kadar çarpışma olmadıysa bir daha olmaz.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Aynı noktadan aynı anda aynı yönde harekete başlayan araçlardan K sabit 18 m/s hızla gidiyor, L durgun hâlden 3 m/s² ivmeyle hızlanıyor. Aralarındaki uzaklık en çok kaç metre olur? L, K'ye ne zaman ve hangi konumda yetişir?
Çözüm. Hızlar 3·t = 18 eşitliğinden t = 6 s anında eşitlenir. Bu anda K 18·6 = 108 m, L ½·3·6² = 54 m yol almıştır; en büyük uzaklık 108 − 54 = 54 m'dir. Yetişme için konumlar eşitlenir: 18·t = ½·3·t², buradan t = 12 s bulunur. Yetişme konumu 18·12 = 216 m'dir ve o anda L'nin hızı 3·12 = 36 m/s olur. Yetişme süresi, hızların eşitlendiği sürenin iki katıdır.
Örnek 2. Düz bir yolda aralarında 200 m bulunan iki araçtan A durgun hâlden 2 m/s² ivmeyle B'ye doğru harekete geçiyor; B ise aynı anda A'ya doğru sabit 10 m/s hızla geliyor. Araçlar kaç saniye sonra ve A'nın başladığı noktadan kaç metre uzakta karşılaşır?
Çözüm. A'nın başladığı nokta başlangıç, B'ye doğru yön pozitif seçilir. A'nın konumu ½·2·t² = t², B'nin konumu 200 − 10·t olur. Karşılaşmada konumlar eşittir: t² = 200 − 10·t, yani t² + 10·t − 200 = 0. Denklemin pozitif kökü t = 10 s'dir. Bu anda A 100 m yol almıştır; karşılaşma A'nın başladığı noktadan 100 m uzaktadır. B de 10·10 = 100 m yol almıştır ve yolların toplamı 200 m eder.
Örnek 3. 30 m/s hızla giden bir otomobilin sürücüsü, önünde aynı yönde sabit 10 m/s hızla giden bir kamyonu görüp 4 m/s² ivmeyle yavaşlamaya başlıyor. Çarpışma olmaması için fren anında aradaki uzaklık en az kaç metre olmalıdır?
Çözüm. Otomobil kamyondan hızlı olduğu sürece aradaki uzaklık azalır; en küçük uzaklık hızlar eşitlendiğinde olur. 30 − 4·t = 10 eşitliğinden t = 5 s bulunur. Bu sürede otomobil 30·5 − ½·4·5² = 100 m, kamyon 10·5 = 50 m yol alır. Otomobil kamyona 100 − 50 = 50 m yaklaşmıştır; çarpışma olmaması için başlangıçtaki uzaklık en az 50 m olmalıdır. Otomobilin tümüyle durması gerekmez; hızını kamyonun hızına indirmesi yeter.
Sık yapılan hatalar
- Hızların eşit olduğu anı yetişme anı sanmak.
- Öndeki araca çarpmama sorusunda arkadaki aracın tamamen durmasını beklemek; kritik an hızların eşitlendiği andır.
- Karşılıklı gelen araçlarda konumların işaretini ve başlangıç uzaklığını denklemlere katmamak.
- Yetişme ve karşılaşmada konumlar eşittir.
- Hızlar eşit olduğunda aradaki uzaklık en büyük ya da en küçüktür.
- Sabit hızlı araçla aynı yerden, aynı anda durgun hâlden kalkan ivmeli araç ona t = 2·v/a anında yetişir.