Konu anlatımı
Elinden bıraktığın bir taş giderek hızlanarak düşer. Hava direnci ihmal edilirse bu hareket, ivmesi g olan sabit ivmeli harekettir. Bu alt başlıkta serbest düşme bağıntılarını, grafiklerini ve tipik soru kalıplarını göreceksin.
Serbest düşme nedir?
Bir cismin durgun hâlden bırakılıp yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisinde düşmesine serbest düşme denir. Cismin ivmesi aşağı yönlüdür ve yer çekimi ivmesine eşittir: a = g. Bu ivme cismin kütlesine bağlı değildir; havası boşaltılmış bir boruda tüy ile demir bilye aynı anda düşer. Sorularda g = 10 m/s² alınır. Aşağı yön pozitif seçilirse hareket denklemleri v = g·t, h = ½·g·t² ve v² = 2·g·h biçimini alır; burada h bırakıldığı noktadan itibaren düşülen yüksekliktir.
Ardışık saniyelerde alınan yollar
Düşülen yükseklik sürenin karesiyle orantılıdır: cisim 1 saniyede 5 m, 2 saniyede 20 m, 3 saniyede 45 m, 4 saniyede 80 m düşer. Buna göre ardışık saniyelerde alınan yollar 5 m, 15 m, 25 m, 35 m olur; her saniye bir öncekinden 10 m fazla yol alınır. Hız ise her saniye 10 m/s artar: 10, 20, 30, 40 m/s. Son saniyede alınan yol soruluyorsa toplam yükseklikten, bir saniye öncesine kadar düşülen yükseklik çıkarılır.
Serbest düşmenin grafikleri
Aşağı yön pozitif alındığında ivme-zaman grafiği g düzeyinde yatay bir doğrudur. Hız-zaman grafiği orijinden geçen ve eğimi g olan bir doğrudur; altındaki üçgenin alanı düşülen yüksekliği verir. Düşülen yükseklik-zaman grafiği orijinden başlayan ve giderek dikleşen bir paraboldür. Yerden yükseklik-zaman grafiği çizilirse parabol başlangıç yüksekliğinden başlar ve giderek hızlanan bir azalışla sıfıra iner.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Hava direncinin ihmal edildiği ortamda 80 m yükseklikten serbest bırakılan bir taş yere kaç saniyede ve hangi hızla ulaşır? Hareketinin son saniyesinde kaç metre yol alır? (g = 10 m/s²)
Çözüm. h = ½·g·t² bağıntısından 80 = 5·t², t² = 16 ve t = 4 s bulunur. Yere çarpma hızı v = g·t = 10·4 = 40 m/s'dir. Taş ilk 3 saniyede ½·10·3² = 45 m düşer; son saniyede alınan yol 80 − 45 = 35 m'dir. Taş, dört saniyelik hareketin yalnızca son saniyesinde toplam yolun yarıya yakınını almıştır.
Örnek 2. Bir kuyunun ağzından bırakılan taş 3 s sonra suya çarpıyor. Kuyunun su düzeyine kadar derinliği ve taşın suya çarpma hızı nedir? Taş 2. saniye içinde kaç metre yol almıştır? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Derinlik h = ½·g·t² = ½·10·3² = 45 m, çarpma hızı v = g·t = 10·3 = 30 m/s'dir. Taş 1 saniyede 5 m, 2 saniyede 20 m düşer; 2. saniye içinde alınan yol 20 − 5 = 15 m'dir. Ardışık saniyelerde alınan yollar 5 m, 15 m ve 25 m olup toplamları 45 m eder.
Örnek 3. Belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cisim yere 20 m/s hızla çarpıyor. Cisim kaç metre yükseklikten bırakılmıştır? Yolun yarısını tamamladığı anda hızı kaç m/s'dir? (g = 10 m/s²)
Çözüm. v² = 2·g·h bağıntısından 400 = 20·h ve h = 20 m bulunur. Yolun yarısında cisim 10 m düşmüştür: v² = 2·10·10 = 200, buradan v = 10√2 m/s, yani yaklaşık 14,1 m/s olur. Hız, yolun yarısında son hızın yarısı olan 10 m/s değildir; çünkü hız düşülen yükseklikle değil, onun kareköküyle orantılıdır.
Sık yapılan hatalar
- Kütlesi büyük cismin havasız ortamda daha büyük ivmeyle düştüğünü sanmak.
- Son saniyede alınan yolu, toplam yüksekliği süreye bölerek hesaplamak.
- Yolun yarısında hızın da son hızın yarısı olduğunu düşünmek.
- v = g·t, h = ½·g·t², v² = 2·g·h.
- Ardışık saniyelerde alınan yollar 5 m, 15 m, 25 m, 35 m olur (g = 10 m/s²).
- Hava direnci yoksa düşme süresi kütleye bağlı değildir.