Konu anlatımı
Havaya atılan bir top önce yavaşlar, bir an durur, sonra hızlanarak geri düşer. Bu hareketin her anında ivme aynıdır. Bu alt başlıkta düşey doğrultuda ilk hızı olan cisimlerin hareketini, simetri özelliklerini ve grafiklerini göreceksin.
Aşağıdan yukarıya atış
Yukarı yön pozitif seçilirse ivme −g olur ve denklemler v = v₀ − g·t, h = v₀·t − ½·g·t² ve v² = v₀² − 2·g·h biçimini alır. Cisim çıkarken her saniye 10 m/s hız kaybeder. Tepe noktasında hız sıfır olur: çıkış süresi t = v₀/g, en büyük yükseklik v₀²/(2·g) olur. Tepe noktasında cisim durmuş gibi görünse de ivmesi yine g büyüklüğündedir ve aşağı yönlüdür; net kuvvet de sıfır değildir.
Hareketin simetrisi
Hava direnci yoksa çıkış ve iniş birbirinin simetriğidir. Cisim atıldığı düzeye çıkış süresine eşit bir sürede iner; toplam uçuş süresi 2·v₀/g olur. Atıldığı düzeye ilk hızının büyüklüğüyle, ama ters yönde döner. Aynı yükseklikten çıkarken ve inerken geçtiği andaki hızlarının büyüklükleri eşittir. Hız-zaman grafiği +v₀ değerinden başlayan, eğimi −g olan tek bir doğrudur; çıkış süresinde zaman eksenini keser ve eksenin üstündeki üçgenin alanı en büyük yüksekliği verir.
Yukarıdan aşağıya ve yüksekten atış
Aşağı doğru v₀ hızıyla atılan cisimde hız ve ivme aynı yönlüdür; aşağı yön pozitif alınırsa v = v₀ + g·t ve h = v₀·t + ½·g·t² olur. Belli bir yükseklikten yukarı doğru atılan cisimde hareketi parçalamak zorunda değilsin: yukarı yön pozitif seçilir ve atış noktasının h kadar altındaki yere ulaşma, negatif yer değiştirme olarak yazılır: −h = v₀·t − ½·g·t². Bu tek denklem, cismin önce çıkıp sonra inmesini kendiliğinden hesaba katar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yerden düşey yukarı doğru 25 m/s hızla atılan bir cismin çıkış süresi, en büyük yüksekliği ve uçuş süresi nedir? Atıldıktan 1 s ve 4 s sonraki hızını ve yüksekliğini bulunuz. (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Çıkış süresi 25/10 = 2,5 s, en büyük yükseklik 25²/(2·10) = 31,25 m, uçuş süresi 5 s'dir. 1. saniyede hız 25 − 10 = 15 m/s (yukarı), yükseklik 25·1 − 5·1² = 20 m'dir. 4. saniyede hız 25 − 40 = −15 m/s (aşağı), yükseklik 25·4 − 5·4² = 100 − 80 = 20 m'dir. Cisim 20 m yükseklikten çıkarken ve inerken aynı büyüklükte, 15 m/s hızla geçmiştir; bu iki an, tepe noktasına ulaşılan 2,5. saniyeye göre simetriktir.
Örnek 2. 40 m yükseklikteki bir köprüden bir taş düşey aşağı doğru 10 m/s hızla atılıyor. Taş suya kaç saniyede ve hangi hızla ulaşır? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Aşağı yön pozitif seçilir: h = v₀·t + ½·g·t² bağıntısından 40 = 10·t + 5·t², yani t² + 2·t − 8 = 0 elde edilir. Denklemin pozitif kökü t = 2 s'dir. Çarpma hızı v = v₀ + g·t = 10 + 10·2 = 30 m/s olur. Denetim için zamansız denklem: v² = 10² + 2·10·40 = 900, buradan da v = 30 m/s çıkar.
Örnek 3. Yerden 25 m yükseklikteki bir çatının kenarından bir top düşey yukarı doğru 20 m/s hızla atılıyor. Top yere kaç saniye sonra ve hangi hızla çarpar? Yerden en çok kaç metre yükselir? (Hava direnci önemsiz; g = 10 m/s²)
Çözüm. Yukarı yön pozitif seçilir; yer, atış noktasının 25 m altındadır: −25 = 20·t − 5·t², yani t² − 4·t − 5 = 0. Pozitif kök t = 5 s'dir. Çarpma hızı v = 20 − 10·5 = −30 m/s, yani aşağı doğru 30 m/s olur. Top atış noktasından 20²/(2·10) = 20 m yükselir; yerden en büyük yüksekliği 25 + 20 = 45 m'dir. 45 m'den serbest düşen cismin hızı da √(2·10·45) = 30 m/s olduğundan sonuç tutarlıdır.
Sık yapılan hatalar
- Tepe noktasında ivmeyi sıfır almak.
- Çıkışta ivmeyi yukarı, inişte aşağı yönlü düşünmek; ivme hep aşağı yönlüdür.
- Yüksekten yukarı atılan cisimde yer değiştirmeyi pozitif yazmak; yer atış noktasının altındaysa yer değiştirme negatiftir.
- Çıkış süresi v₀/g, en büyük yükseklik v₀²/(2·g), uçuş süresi 2·v₀/g.
- Aynı yükseklikte çıkış ve iniş hızlarının büyüklükleri eşittir.
- Yüksekten yukarı atış, −h = v₀·t − ½·g·t² denklemiyle tek adımda çözülür.