Konu anlatımı
Sabit hızlı hareketin konum-zaman grafiği doğrudur; ivme işin içine girince grafik eğrilir. Bu alt başlıkta parabol biçimindeki konum-zaman grafiğinden hızın ve ivmenin nasıl okunduğunu göreceksin.
Grafik neden parabol?
Sabit ivmeli harekette konum x = x₀ + v₀·t + ½·a·t² bağıntısıyla değişir; zamanın karesini içerdiği için grafik bir paraboldür. İvme pozitifse parabolün kolları yukarı, negatifse aşağı bakar. Durgun hâlden pozitif yönde hızlanan cismin grafiği, orijinden yatay başlayıp giderek dikleşen bir eğridir. Grafiğin konum eksenini kestiği değer ilk konumu verir. Konum-zaman grafiği cismin izlediği yolun biçimi değildir; cisim bir doğru boyunca hareket etmektedir.
Eğim hızdır
Eğrinin bir noktasındaki teğetin eğimi o andaki hızı, yani anlık hızı verir. Eğri dikleşiyorsa hızın büyüklüğü artıyor, yataylaşıyorsa azalıyordur. Teğetin yatay olduğu noktada, yani parabolün tepe noktasında hız sıfırdır; cisim o anda yön değiştirir. Grafik yükseliyorsa hız pozitif, alçalıyorsa negatiftir. Grafik üzerindeki iki noktayı birleştiren doğrunun, yani kirişin eğimi ise o aralıktaki ortalama hızdır. Sabit ivmeli harekette bir zaman aralığındaki ortalama hız, o aralığın tam ortasındaki anlık hıza eşittir.
Grafikten ivmeyi bulmak
Durgun hâlden başlayan cisimde x = ½·a·t² olduğundan grafikten okunan tek bir nokta ivmeyi verir: a = 2·x/t². İlk hızı olan harekette tepe noktasından yararlanılır: tepe noktasına kadar ortalama hız v₀/2 olduğundan önce ilk hız, ardından ivme bulunur. Eşit zaman aralıklarında konumdaki artışlar giderek büyüyorsa cisim hızlanıyor, küçülüyorsa yavaşlıyordur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Durgun hâlden sabit ivmeyle harekete başlayan bir cismin konum-zaman grafiği orijinden başlayan bir paraboldür ve cisim 1. saniyede 3 m, 2. saniyede 12 m, 4. saniyede 48 m konumundadır. Cismin ivmesi, 3. saniyedeki hızı ve 2–4 s aralığındaki ortalama hızı nedir?
Çözüm. Durgun başlayan cisim için x = ½·a·t² yazılır: 3 = ½·a·1², buradan a = 6 m/s² bulunur; 2. saniyede ½·6·4 = 12 m ve 4. saniyede ½·6·16 = 48 m değerleri bunu doğrular. 3. saniyedeki hız v = a·t = 6·3 = 18 m/s'dir. 2–4 s aralığındaki ortalama hız, kirişin eğimidir: (48 − 12)/2 = 18 m/s. Ortalama hız, aralığın ortasındaki 3. saniyenin anlık hızına eşit çıkmıştır.
Örnek 2. Bir cismin konum-zaman grafiği kolları aşağı bakan bir paraboldür: orijinden başlar, 3. saniyede 9 m ile tepe noktasına ulaşır ve 6. saniyede yeniden sıfır konumuna döner. Cismin ilk hızı ve ivmesi nedir? 0–6 s aralığında yer değiştirme ve alınan yol ne kadardır?
Çözüm. Tepe noktasında hız sıfırdır. İlk 3 saniyede ortalama hız 9/3 = 3 m/s'dir; bu değer (v₀ + 0)/2 ifadesine eşit olduğundan v₀ = 6 m/s bulunur. İvme a = (0 − 6)/3 = −2 m/s² olur; parabolün kollarının aşağı bakması da ivmenin negatif olduğunu gösterir. Cisim 3 saniye boyunca pozitif yönde yavaşlayarak 9 m gider, sonra geri döner. 0–6 s aralığında yer değiştirme sıfır, alınan yol 9 + 9 = 18 m'dir.
Sık yapılan hatalar
- Konum-zaman grafiğinin biçimini cismin izlediği yol sanmak.
- Parabolün tepe noktasında ivmenin de sıfır olduğunu düşünmek; sıfır olan hızdır.
- Eğrinin yüksekte olduğu yerde hızın büyük olduğunu sanmak; hızı yükseklik değil eğim belirler.
- Konum-zaman grafiğinde teğetin eğimi anlık hız, kirişin eğimi ortalama hızdır.
- Kollar yukarı bakıyorsa ivme pozitif, aşağı bakıyorsa negatiftir.
- Tepe noktasında hız sıfırdır ve cisim yön değiştirir.