Konu anlatımı
Sabit ivmeli hareket sorularının hepsi dört denklemle çözülür; iş, verilenlere uygun denklemi seçmektir. Bu alt başlıkta denklemlerin nereden geldiğini, hangisinin ne zaman kullanıldığını ve işaretlerin nasıl seçildiğini göreceksin.
Hız ve konum denklemleri
İvme, hızın birim zamandaki değişimidir: a = Δv/Δt. İvme sabitse hız her saniye aynı miktarda değişir ve t süre sonraki hız v = v₀ + a·t olur. Hız düzgün değiştiği için ortalama hız, ilk ve son hızın ortalamasıdır: (v₀ + v)/2. Yer değiştirme ortalama hız ile sürenin çarpımıdır: Δx = (v₀ + v)/2·t. Bu ifadede v yerine v₀ + a·t yazılırsa Δx = v₀·t + ½·a·t² elde edilir. Cisim durgun hâlden başlıyorsa v₀ = 0 alınır ve bağıntılar v = a·t, Δx = ½·a·t² biçimine iner.
Zamansız hız denklemi
Soruda süre verilmemiş ve sorulmuyorsa hız ile yer değiştirmeyi doğrudan bağlayan v² = v₀² + 2·a·Δx denklemi kullanılır. Fren yapan bir aracın durma yolu bu denklemden bulunur: son hız sıfır olduğundan yol v₀²/(2·a) olur; burada a yavaşlama ivmesinin büyüklüğüdür. Yol hızın karesiyle orantılı olduğu için hız iki katına çıkınca durma yolu dört katına çıkar.
İşaretler ve denklem seçimi
Önce bir pozitif yön seç. Bu yöndeki hız, ivme ve yer değiştirme pozitif, zıt yöndekiler negatif yazılır. Hızlanan cisimde ivme hızla aynı işaretli, yavaşlayan cisimde zıt işaretlidir. Denklem seçerken verilen ve istenen büyüklüklere bak: süre varsa ilk iki denklem, süre yoksa zamansız denklem, ivme bilinmiyorsa ortalama hız bağıntısı en kısa yoldur. Hareket birden çok evreden oluşuyorsa her evre ayrı çözülür; bir evrenin son hızı sonrakinin ilk hızıdır.
Eşit sürelerde alınan yollar
Durgun hâlden sabit ivmeyle hızlanan cismin aldığı toplam yol sürenin karesiyle orantılıdır: 1, 2, 3 birim sürede 1, 4, 9 birim. Bu yüzden ardışık eşit zaman aralıklarında alınan yollar 1, 3, 5, 7 ile orantılı olur. Örneğin ilk saniyede 2 m alan cisim ikinci saniyede 6 m, üçüncü saniyede 10 m alır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Durgun hâldeki bir motosiklet 3 m/s² sabit ivmeyle harekete geçiyor. 4 s sonraki hızı ve aldığı yol nedir? Bu yolun ne kadarını ilk 2 saniyede, ne kadarını sonraki 2 saniyede almıştır?
Çözüm. Hız v = a·t = 3·4 = 12 m/s, yol Δx = ½·a·t² = ½·3·16 = 24 m olur. İlk 2 saniyede alınan yol ½·3·4 = 6 m'dir; sonraki 2 saniyede 24 − 6 = 18 m yol alınır. Eşit sürelerde alınan yollar 6 m ve 18 m olup 1'e 3 oranındadır; cisim hızlandığı için ikinci aralıkta daha çok yol almıştır.
Örnek 2. 20 m/s hızla giden bir araç fren yaparak 4 m/s² büyüklüğünde ivmeyle yavaşlıyor. Frene basıldıktan 32 m sonra aracın hızı kaç m/s'dir? Araç durana kadar toplam kaç metre yol alır?
Çözüm. Süre verilmediği için zamansız denklem kullanılır; ivme harekete zıt olduğundan negatif alınır: v² = 20² − 2·4·32 = 400 − 256 = 144, buradan v = 12 m/s bulunur. Durma yolu için son hız sıfır yazılır: 0 = 400 − 2·4·Δx, buradan Δx = 50 m çıkar. Araç ilk 32 m'de hızının 8 m/s'sini, kalan 18 m'de ise 12 m/s'sini kaybetmiştir; hız yolla doğru orantılı azalmaz.
Örnek 3. Bir tren 8 s içinde hızını düzgün olarak 6 m/s'den 24 m/s'ye çıkarıyor. Trenin ivmesi ve bu sürede aldığı yol nedir?
Çözüm. İvme a = Δv/Δt = (24 − 6)/8 = 2,25 m/s² olur. Yol için en kısa yöntem ortalama hızdır: ortalama hız (6 + 24)/2 = 15 m/s olduğundan Δx = 15·8 = 120 m bulunur. Konum denklemi de aynı sonucu verir: 6·8 + ½·2,25·8² = 48 + 72 = 120 m.
Sık yapılan hatalar
- Ortalama hız bağıntısını ivmenin sabit olmadığı hareketlerde kullanmak.
- Yavaşlayan cisimde ivmenin işaretini hızla aynı almak.
- İlk hızı olan cisimde Δx = ½·a·t² yazıp v₀·t terimini unutmak.
- v = v₀ + a·t ve Δx = v₀·t + ½·a·t².
- Süre yoksa v² = v₀² + 2·a·Δx; ivme yoksa Δx = (v₀ + v)/2·t.
- Durgun başlayan cisim eşit sürelerde 1, 3, 5, 7 ile orantılı yollar alır.