Konu anlatımı
Bir karınca kendi ağırlığının kat kat fazlasını taşıyabilirken dev bir hayvan kendi ağırlığını taşımakta zorlanır. Bu alt başlıkta bu farkın nedenini, yani dayanıklılığın cismin boyutlarıyla nasıl değiştiğini göreceksin.
Dayanıklılık nedir?
Dayanıklılık, bir cismin kendi ağırlığına ve kendisine uygulanan kuvvetlere kırılmadan, ezilmeden ya da bozulmadan dayanabilme ölçüsüdür. Bir sütunun ya da kemiğin taşıyabileceği yük kesit alanıyla artar; cismin ağırlığı ise hacmiyle orantılıdır. Bu yüzden aynı maddeden yapılmış ve aynı biçimdeki cisimlerde dayanıklılık, kesit alanının hacme oranıyla değerlendirilir; oran büyüdükçe dayanıklılık artar. Maddenin cinsi de önemlidir: aynı boyutlardaki çelik bir çubuk tahta bir çubuktan daha dayanıklıdır.
Kesit alanı ve hacim oranı
Kenarı a olan küpte kesit alanı a², hacim a³ olduğundan oran 1/a'dır. Yüksekliği h olan dikdörtgenler prizmasında ve silindirde, yüke dik kesitin alanı taban alanına eşittir ve oran 1/h olur. Yarıçapı r olan kürenin en büyük kesiti πr² alanlı bir dairedir; hacmi (4/3)πr³ olduğundan oran 3/(4r) olur. Programda dayanıklılıkla ilgili hesaplar yalnızca bu dört cisimdeki kesit alanı/hacim oranıyla sınırlıdır.
Boyutlar büyüyünce
Bir cismin bütün boyutları k katına çıkarsa kesit alanı k², hacmi ve dolayısıyla ağırlığı k³ katına çıkar. Kesit alanının hacme oranı k'de bire iner; büyük cisim, küçük olana göre kendi ağırlığı oranında daha az dayanıklıdır. Fillerin bacaklarının vücutlarına göre kalın olması, karıncaların kendi ağırlıklarının çok üstünde yük taşıyabilmesi ve büyük köprülerle binaların daha güçlü taşıyıcılar gerektirmesi bu ilkeyle açıklanır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Yüksekliği 10 cm olan silindir biçimli bir sütun ile aynı maddeden yapılmış ve bütün boyutları 3 katı olan ikinci bir sütunun kesit alanının hacme oranlarını karşılaştırınız.
Çözüm. Silindirde oran 1/h'dir. Birinci sütunda oran 1/10, yüksekliği 30 cm olan ikinci sütunda 1/30'dur (birim: 1/cm). İkinci sütunun oranı birincinin üçte biri olduğu için büyük sütun, kendi ağırlığına göre daha az dayanıklıdır. Boyutlar 3 katına çıkınca kesit alanı 9, hacim 27 katına çıkmıştır.
Örnek 2. Boyutları 2 cm, 3 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir blok, 2 cm ve 3 cm'lik kenarları olan yüzü üzerinde dik duruyor. Bloğun kesit alanının hacme oranı nedir?
Çözüm. Blok dik durduğunda yüke dik kesit, kenarları 2 cm ve 3 cm olan yüzdür; alanı 2·3 = 6 cm²'dir. Hacim 2·3·10 = 60 cm³ olduğundan oran 6/60 = 1/10 olur (birim: 1/cm). Bu sonuç, prizmada oranın 1/h olduğunu doğrular.
Örnek 3. Yarıçapı 2 cm olan bir kürenin en büyük kesit alanının hacmine oranı kaçtır? (π = 3)
Çözüm. En büyük kesit, yarıçapı 2 cm olan bir dairedir: πr² = 3·4 = 12 cm². Kürenin hacmi (4/3)πr³ = (4/3)·3·8 = 32 cm³'tür. Oran 12/32 = 3/8 olur (birim: 1/cm); bu sonuç 3/(4r) bağıntısında r = 2 yazılınca da bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Büyük cismin her zaman daha dayanıklı olduğunu sanmak; aynı madde ve biçimde büyüyen cismin dayanıklılığı azalır.
- Kesit alanı yerine bütün yüzey alanını kullanmak.
- Boyutlar k katına çıkınca ağırlığın da k katına çıktığını sanmak; ağırlık k³ katına çıkar.
- Dayanıklılık kesit alanı/hacim oranıyla değerlendirilir.
- Küpte oran 1/a, prizmada ve silindirde 1/h, kürede 3/(4r) olur.
- Boyutlar k katına çıkınca oran k'de bire iner.